Homeomorphisms de X forma un grupo topológico

Question

Así que estoy empezando a aprender sobre el compacto-abierta topología y estoy tratando de mostrar que para un compacto Hausdorff espacio ,$X$, el grupo de homeomorphisms de $X$, $H(X)$, es un grupo topológico con la compacta abierta de la topología. Esta topología tiene un subbasis de conjuntos de $\{f\in H(X):f(C)\subseteq V\}=S(C,V)$ compacto $C$, abra $V$. Este es mi primer intento de llegar a conocer esta topología, por lo que agradecería un poco de ayuda con la parte de una prueba que tengo hasta ahora, posiblemente, una mejor manera de ir sobre lo pruebe, y cualquier otra ayuda para la comprensión de esta topología.

En primer lugar, vamos a $c:H(X)\times H(X)\rightarrow H(X)$ composición. Para $f,g\in H(X)$, vamos a $S(C,V)$ ser un subbasis conjunto con $f\circ g\in S(C,V)$. Por lo $f(g(C)\subseteq V$, lo que significa $f\in S(g(C),V)$$g\in S(C,f^{-1}(V)$. El producto de esos conjuntos de obras ya que si $h_1(C)\subseteq f^{-1}(V)$$h_2(g(C))\subseteq V$,$h_2\circ h_1(C)\subseteq V$.

A continuación, vamos a $i:H(X)\rightarrow H(X)$ de la inversión. Tomar un subbasis set $O=\{g:g(C)\subseteq U\}$ y considerar la posibilidad de $i^{-1}(O)=\{g^{-1}:g(C)\subseteq U\}$. Si $h^{-1}\in i^{-1}(O)$, lo que tenemos es que el $h(C)\subset U$, pero no estoy totalmente seguro de qué hacer con esto. Esta parte parece que debería ser más fácil, pero yo simplemente no estoy viendo.

Gracias.

Answer 1

Aquí usted no necesita mucho de la topología, se reduce a pura manipulación de conjuntos y bijective funciones, y los dos siguientes hechos: $(*)$ cerrado subconjuntos de espacios compactos es compacto, y $(**)$ subconjuntos compactos de Hausdorff espacios están cerrados. Acaba de tomar complementos y utilice el hecho de que $h$ es por definición un bijection, por lo que $$\begin{array}{RCL} h\in S(C,U) & \Longleftrightarrow & h(C)\subset U\\ & \Longleftrightarrow & X\setminus U\subset \underbrace{X\setminus h(C)}_{=h(X\setminus C)}\\ & \Longleftrightarrow & h^{-1}(X\setminus U)\subset X\setminus C \\ & \Longleftrightarrow & h^{-1}\in S(X\setminus U,X\setminus C) \end{array}$$ (que es un subbasic abrir barrio), es decir, $$\mathrm{inv}^{-1}( S(C,U))=\mathrm{inv}(S(C,U))=S(X\setminus U,X\setminus C)$$ lo que demuestra la inversión de mapa de $\mathrm{inv}$ a de ser continuo.