¿Por qué es el cuantificador universal $\forall x \in A : P(x)$ define como $\forall x (x \in A \implies P(x))$ usando una implicación?

Question

Y lo mismo va para el cuantificador existencial: $\exists x \in A : P(x) \; \Leftrightarrow \; \exists x (x \in A \wedge P(x))$. ¿Por qué no podría ser: $\exists x \in A : P(x) \; \Leftrightarrow \; \exists x (x \in A \implies P(x))$$\forall x \in A : P(x) \; \Leftrightarrow \; \forall x (x \in A \wedge P(x))$?

Answer 1

Considere la posibilidad de la expresión de $\forall x \in A : P(x) \; \Leftrightarrow \; \forall x (x \in A \wedge P(x))$. Asumiendo $A$ a ser un subconjunto del dominio de discurso, la expresión siempre será falso, porque por definición no se $x$ valores en el dominio de discurso que no están en $A$.

Answer 2

Pensé en combinar en un solo post todas las respuestas y comentarios. Una fuente útil es el pp 68-69 de Cómo demostrarlo por Daniel Velleman; véase el capítulo "de las Equivalencias que implican Cuantificadores."

Para el dominio de discurso $D$, las definiciones formales (en verde) y las inoperational alternativas (en Fuego Rojo Ladrillo) son:

$\color{verde}{\exists \;x \D \; : P(x) = \exists \;x \D \; \; ( \;x \en Un \wedge P(x) \;) \etiqueta{E = Existencial}} $

$ \color{verde}{\forall \;x \D \; : P(x) = \forall \;x \D \; \; ( \;x \en Un \Longrightarrow P(x) \;) \etiqueta{U = Universal}} $

$\color{#B22222}{\exists \; x \D : P(x) \; = \; \exists \; x \D \; \; ( \;x \en Un \Longrightarrow P(x) \;) \etiqueta{E*}}$

$\color{#B22222}{\forall x \in D : P(x) \; = \; \forall \;x \D \;\; ( \;x \in Un \wedge P(x) \;) \etiqueta{U*}}$

Como por Tobias Kildetoft del comentario, (E*) está fuera de operación, debido a (E) dice:
hay un elemento real en $x$ que, debido a la $\wedge$, debe satisfacer $P(x)$.
En el caso extremo de que $A = \emptyset$, $\color{#B22222}{\;x \in A}$ es falso, por lo que el antecedente de (E*) es una declaración falsa. Declaraciones falsas implica nada, así que de (E*) no ayuda.

Ahora, vamos a analizar (U*). $\boxed{\text{Case 1 of 2 : } A \subsetneq D}$
Entonces existe al menos un punto de $\in D$ pero $\notin A$. Por lo tanto $\color{#B22222}{... = \; \forall \;x \D \;\; ( \;x \in Un ... \;)}$ produce un error.

$\boxed{\text{Case 2 of 2 : } A = D}$
A continuación, el lado derecho de (U*) se convierte en: $\; \forall \;x \D \;\; ( \;x \in \color{#318CE7}{D} \wedge P(x) \;)$,
pero esto sólo se reduce a $\forall \;x \in D \ P(x)$.

Para el Caso 2 no es un problema, pero el Caso 1 es. Así que sortear el Caso 1 (U).

Answer 3

No puedo responder a su primera pregunta. Es sólo la definición de la notación.

Para tu segunda pregunta, por definición de '$\rightarrow$', tenemos

$\exists x (x\in A \rightarrow P(x)) \leftrightarrow \exists x\neg(x\in A \wedge \neg P(x))$

Creo que usted estará de acuerdo en que esto es muy diferente de

$\exists x (x\in A \wedge P(x))$