Cómo demostrar que $\overline{zw}=\overline{z}\,\overline{w}$ ?

Question

He pensado en multiplicar primero dos complejos que no están en la forma conjugada:

$$zw=a c+i a d+i b c-b d$$

Luego multiplica dos conjugados complejos:

$$\overline{z}\,\overline{w}=a c\color{red}{-}i a d\color{red}{-}i b c-b d$$

Y luego observa las diferencias entre ellos, que son esas señales rojas. Luego pensé en ampliar $\overline{zw}$ sin negar los términos adecuados:

$$\overline{zw}=\overline{a c+i a d+i b c-b d}$$

Y luego aplicar el overline como si fuera una operación para negar esas dos señales:

$$\overline{zw}=a c-i a d-i b c-b d$$

¿Es correcto mi razonamiento? Creo que sí, pero tengo la sensación de que falta algo.

Answer 1

Sí. Más concisamente,

\begin{align*} \overline{zw} & =\overline{\left(a+ib\right)\left(c+id\right)}\\ & =\overline{ac+iad+ibc-bd}\\ & =ac-iad-ibc-bd\\ & =\left(a-ib\right)\left(c-id\right)\\ & =\left(\overline{a+ib}\right)\left(\overline{c+id}\right)\\ & =\overline{z}\overline{w} \end{align*}

Answer 2

Es una buena manera de proceder. Podrías hacerlo más explícito combinando factores similares, de modo que tengas el estándar $x + yi$ y luego conjugar, como sugieres, pero el resultado final sería el mismo.