Cíclico del sistema de ecuaciones cúbicas en $5$ variables

Question

Problema: encontrar todas las soluciones reales del sistema: $$3a=(b+c+d)^3$$ $$3b=(c+d+e)^3$$ $$3c=(d+e+a)^3$$ $$3d=(e+a+b)^3$$ $$3e=(a+b+c)^3$$

Mi intento: traté de conseguir un obligado para soluciones positivas. El uso de AM$\geq$GM, $(x+y+z)^3\geq27xyz$, me sale $$ abcde\leq \sqrt{\frac{1}{9^5}}=\frac{1}{3^5}$$ También, por la desigualdad de Jensen $\frac{x^3+y^3+z^3+u^3+v^3}{5}\geq(\frac{x+y+z+u+v}{5})^3$ I get $$a+b+c+d+e\leq5/3$$ Aparte de esto, no puedo encontrar más información acerca de las raíces. Este problema no debería ser muy difícil, así que probablemente me estoy perdiendo algo aquí...

Answer 1

Una verdadera solución debe satisfacer $a=b=c=d=e$. Para ver esto, vamos a una solución arbitraria $(a,b,c,d,e)$ será dado, y su sustitución por cambios cíclicos, podemos suponer sin pérdida de generalidad que $a=\max\{a,b,c,d,e\}$. A continuación,$a\geq e$, por lo que el $\sqrt[3]{3a} \geq \sqrt[3]{3e}$. Utilizando las ecuaciones $3a=(b+c+d)^3$$3e=(a+b+c)^3$, esto implica que $b+c+d \geq a+b+c$, es decir, $d \geq a$. Pero desde $a=\max\{a,b,c,d,e\} \geq d$, esto implica $d=a$. La iteración de esta misma cadena de razonamiento con $d$ en lugar de $a$, se obtiene, a su vez, $b=d$, $e=b$, y $c=e$, por lo que, de hecho,$a=b=c=d=e$.

De ello se desprende que las únicas soluciones reales a satisfacer $3a=(b+c+d)^3=(3a)^3$, por lo que el $9a^3=a$, que sólo tiene soluciones $a\in\{0,\pm \frac13\}$. Por lo tanto, las soluciones reales son $(0,0,0,0,0)$, $(\frac13,\frac13,\frac13,\frac13,\frac13)$, y $(-\frac13,-\frac13,-\frac13,-\frac13,-\frac13)$.