Cuando se hace la gavilla de imagen directa functor f_* tienen derecho adjuntos?

Question

Dicen que f: X → Y es una de morfismos de esquemas. La gavilla de imagen directa functor f_★ siempre tiene un adjunto a la izquierda, a saber, la gavilla de la inversa de la imagen functor f^★ (con tensoring).

En virtud de lo (suficiente) de las condiciones que sabemos que f_★ tiene un derecho adjuntos? ¿Qué es?

Respuesta a una pregunta relacionada con la (edición): Si f_★ conserva quasicoherence, a continuación, su restricción a quasicoherents f_★: QCoh(X) → QCoh(Y) tiene un derecho adjoint cuando f es afín (en particular, de puertas cerradas, de inmersión o finito de morfismos va a hacer). La idea básica es la de globalizar los afín caso (ver Eric Wofsey la respuesta de abajo); gracias a Pablo Solís para que me apunta a la página 6 de Ravi Vakil de las notas explicativas de este.

En esta pregunta, yo no se restringe a la cuasi coherente de categorías. Una de las razones para trabajar con no-quasicoherents es que j_! la "extensión por cero" derecho medico adjunto j^★ para abrir la inmersión j, no qcoh a qcoh.

Answer 1

Si f_* tiene derecho adjuntos, debe conservar colimits y, por tanto, ser derecho-exacto. Así, una condición necesaria es que la mayor derivada de functors desaparecer. En particular, cuando todo es afín y tenemos X=Spec B, Y=Spec A, entonces creo que el medico adjunto existe y está dado por M \mapsto Hom_A(B,M).

Answer 2

Que a veces (cuando !!??) tener un segundo adjunto de par (f_!,f^!) entre la gavilla categorías donde f_! es la imagen directa con el apoyo adecuado y f^! es un derecho adjuntos. Ahora, cuando f es adecuada, se ha f_!=f_* , f^! es derecho medico adjunto f_* .

Usted puede encontrar que es lo que se hace a través de adjuntos de yoga con la gavilla-Homs: Hom(f_*F,G)=Hom(F,f^!G).

Conjunto F=O_X. Entonces (f^!G)(U)=Hom(O_X(U), f^!G(U))=Hom((f_* O_X)(U), G(U)). Si usted puede determinar el último de saber más. Esta es una respuesta muy general, pero puede ayudar en situaciones concretas, de ebullición por la pregunta para el conocimiento de f_*O_X...

Si usted no sabe si el derecho adjoint existe, usted también puede tratar de definir a través de esta ecuación.

Answer 3

Para tu pregunta.

estoy de acuerdo con la respuesta de Greg, pero en otro formalismo. Él utiliza derivados de la categoría. Yo no. Si f:X--->Y es una de morfismos de esquema. Entonces, si f es afín de morfismos. A continuación directa de la imagen functor f_* :Cx\begin{align*} \sum_{i=1}^{n}{\left(i\cdot i!\right)}&=1\cdot 1!+2\cdot 2!+3\cdot 3!+\cdots+(n-1)\cdot(n-1)!+n\cdot n!\\ &=(1+1)!-1!+(2+1)!-2!+(3+1)!-3!+\cdots+(n-1+1)!-(n-1)!+(n+1)!-n! \\ &=2!-1!+3!-2!+4!-3!+\cdots+(n+1)!-n!\\ &=(n+1)!-1. \end>Cy, tiene derecho adjoint functor f^!. Donde Cx y Cy son de la categoría de las poleas o en particular, la categoría de cuasi coherente de las poleas. Así que, en general, lo que necesitamos es sólo el esquema es cuasi compacto y cuasi separados.(Creo que la cuasi compacto se puede quitar, pero necesito un poco de tiempo para comprobar la globalización, creo que la bandera de la variedad afín de Kac-Moody álgebra que no es cuasi compacto, se encuentra en este caso). La referencia es M. Kontsevich y A. Rosenberg No conmutativa espacios y tv de descenso. MPIM preprint

Hay otra cuestión relacionada. En la categoría de cuasi coherente de las poleas. Decir, si tenemos el esquema de morfismos X---->Y, siempre podemos obtener la inversa de la imagen functor f^*: QcohY--->QcohX. Pero la imagen directa functor no siempre existen. Pero si en el esquema que estamos hablando es cuasi compacto y cuasi separados. Existe. Hay por supuesto más débil condición. Para este caso, uno puede ver los siguientes documentos: 1 D. Orlov Cuasi coherente poleas en conmutativa y geometría no conmutativa 2 M. Kontsevich, A. Rosenberg. No conmutativa de la pila MPIM preprint 3 SGA 6

Answer 4

Siempre que X es cuasi-compacto y separados y f es separado, a continuación, lo cierto es que la fr_* : D(X) -> D(Y) tiene un derecho adjoint f^! donde estas son las ilimitada de categorías derivadas de las poleas de los módulos con quasicoherent cohomology. Este es el Grothendieck dualidad functor. Su existencia puede ser visto como una consecuencia del hecho de que la fr_* en una situación conserva co-productos. Vale la pena mencionar supongo que a veces uno no necesita este tipo de grandes categorías derivadas para producir un adjunto (por ejemplo, si X e y son lisas y proyectiva a través de algunas de campo).

Se obtiene un derecho medico adjunto en el nivel de abelian categorías de todas las poleas de los módulos correspondientes a la inclusión de un cerrado subscheme así es decir, la inversa de la imagen de la subsheaf con apoyos.

Allí el más evidente es el truco que si f:X -> Y es un isomorfismo, entonces el medico adjunto par saber te da una equivalencia de modo que f^* es también derecho medico adjunto f_*.