¿La operación de finalización de preservar la inyectividad?

Question

A mí me parece que vi un contraejemplo en algún lugar, pero no lo encuentro, ¿alguien puede ayudarme?

Deje $\varphi:X\to Y$ ser lineal en el mapa continuo localmente convexo espacios, y $\widetilde{\varphi}:\widetilde{X}\to\widetilde{Y}$ el correspondiente lineal mapa continuo de sus terminaciones.

Si $\varphi:X\to Y$ es inyectiva, es $\widetilde{\varphi}:\widetilde{X}\to\widetilde{Y}$ inyectiva?

Creo que la respuesta debe ser "no", así que otra pregunta es

Bajo qué condiciones la inyectividad de $\varphi:X\to Y$ implica que la inyectividad de $\widetilde{\varphi}:\widetilde{X}\to\widetilde{Y}$?

Answer 1

Aquí es una manera de conseguir un montón contraejemplos. Deje $\widetilde{X}$ ser su favorito de dimensiones infinitas completar el espacio, vamos a $X\subset \widetilde{X}$ ser un subespacio denso, vamos a $v\in\widetilde{X}\setminus X$, y deje $L$ ser el lapso de $v$. Entonces podemos tomar $Y=\widetilde{X}/L$, y el cociente mapa de $\widetilde{\varphi}:\widetilde{X}\to Y$ no es inyectiva, pero su restricción a $X$ es.

No sé de ningún útil de las condiciones bajo las cuales la respuesta es sí.