Cómo probar que $ \text{int}(\text{cl}(A)) = \text{cl}(\text{int}(A)) $?

Question

Cómo puede uno demostrar que $ \text{int}(\text{cl}(A)) = \text{cl}(\text{int}(A)) $ donde $ A \subseteq \mathbb{R}^{n} $?

Esto es cierto para todos los conjuntos que lo he intentado, pero no puedo demostrarlo formalmente.

Answer 1

Me gustaría añadir un poco de algo para Arthur respuesta. En general, sólo tenemos donde '$ \longrightarrow $' significa '$ \subseteq $'.

Es posible que todos los $ 7 $ define que se muestra en el diagrama de arriba para ser distintos. En el siguiente ejemplo de $ \mathbb{R} $ es dada en el Teorema $ 1 $ de este conjunto de notas por Greg Strabel: $$ A := (0,1) \cup (1,2) \cup \{ 3 \} \cup ([4,5] \cap \mathbb{Q}). $$

Es evidente que no requieren de un complicado subconjunto de $ \mathbb{R} $ a demostrar que $ \text{cl}(\text{int}(A)) \neq \text{int}(\text{cl}(A)) $ en general. Dejando $ A = [0,1] $, obtenemos $ \text{int}(\text{cl}(A)) = (0,1) $$ \text{cl}(\text{int}(A)) = [0,1] $. Como $ (0,1) \neq [0,1] $, hemos terminado.

Ahora, usando la Kuratowski-Cierre Complementar Teorema (también conocido como el Kuratowski $ 14 $-Ajuste Teorema), se puede demostrar el siguiente hecho.

Fascinante hecho: Vamos a $ A $ ser un subconjunto de un espacio topológico. Si aplicamos el interior y cierre de los operadores a $ A $ repetidamente en cualquier orden, entonces vamos a obtener en la mayoría de las $ 7 $ distintos sets en la final. Cada uno de estos grupos será uno de los $ 7 $ define que se muestra en el diagrama de arriba (esto debe sugerir a usted que algunos de los conjuntos en el diagrama pueden coincidir). Como se muestra anteriormente, $ \mathbb{R} $ contiene un ejemplo para que el máximo posible de total de $ 7 $ distintos conjuntos se logra.

Answer 2

Usted no puede. El conjunto en el lado izquierdo está abierto, y el conjunto en la parte derecha está cerrada, y la única subconjuntos de a $ \mathbb{R}^{n} $ que son a la vez abiertos y cerrados se $ \varnothing $$ \mathbb{R}^{n} $.

Agregado: ... y no son subconjuntos de a $ \mathbb{R}^{n} $ que no tienen ni $ \varnothing $ ni $ \mathbb{R}^{n} $ como el cierre de su interior (o en el interior de su cierre).

Answer 3

La siguiente página interactiva permite variar la configuración inicial $ E $ a ver (entre otras cosas) si no se satisface la identidad de $ \text{int}(\text{cl}(E)) = \text{cl}(\text{int}(E)) $:

http://mathdl.maa.org/images/upload_library/60/bowron/k14.html

Para más información sobre este tema y otros como él, esta página tiene un montón de referencias:

http://www.mathtransit.com/cornucopia.php