Para $I,J$ ideales, muestran que $IJ\subseteq (I\cap J)(I+J)$

Question

Para $I,J$ ideales, muestran que $IJ\subseteq (I\cap J)(I+J)$. Si ayuda a $I$ $J$ son ideales en un dominio de Dedekind, pero como lo que puedo decir que la prueba dada en el libro sólo se utiliza el hecho de que estamos en un anillo conmutativo, de cualquier manera no puede seguir la prueba:

Si $ab\in IJ$$a\in I$$b\in J$, $ab\in I,J$ e lo $ab\in I\cap J$. Por otra parte podemos ver que $ab\in I+J$. Por lo tanto,$ab\in (I\cap J)(I+J)$.

Todo es más sencillo hasta el 'por lo tanto' al final. Sólo porque algo es en dos ideales no significa que sea en su producto, por lo que sabemos que $(ab)^2\in (I\cap J)(I+J)$, pero no puedo ver cómo sigue ese $ab\in (I\cap J)(I+J)$. Gracias

Este es el Lema 1.3 de la página 30 de Mollin de la Teoría Algebraica de números.

Answer 1

De hecho, en general anillo de la inclusión es al revés:

$(I\cap J) I \subset JI = IJ$, e $(I \cap J) J \subset IJ,$ por lo tanto $(I\cap J) (I + J) = (I\cap J)I + (I\cap J) J \subset IJ.$

De curso $IJ \subset I \cap J$, y así que en total tenemos la secuencia de inclusiones $$(I\cap J) (I + J) \subset IJ \subset (I \cap J).$$

(Esto es comúnmente utilizado, por ejemplo, para mostrar que $IJ = I \cap J$ si $I$ $J$ son coprime, es decir, si $I + J = A$, los anillos de enteros.)

Pero en un dominio de Dedekind de hecho hemos igualdad de $$(I\cap J) (I + J) = IJ.$$ Para esto, tenga en cuenta que podemos escribir $I = I' (I+J)$ $J = J'(I+J)$ para algunos $I'$, $J'$. (Aquí es donde utilizamos el supuesto de que $A$ es un dominio de Dedekind.) A continuación,$I' + J' = A,$, de modo que en el anterior comentario entre paréntesis, $I'\cap J' = I'J',$ dando $$(I \cap J) (I+J) = (I'\cap J')(I+J)^2 = I'J' (I+J)^2 = I J.$$

En un sentido más general anillo, la inclusión $(I \cap J)(I+J) \subset IJ$ pueden ser estrictas. E. g. si $A = k[x,y]$ (para un campo $k$), y $I = (x),$ $J = (y)$, entonces $IJ = I\cap J = (xy)$, while $I + J = (x,y)$, y la inclusión $(xy)(x,y) \subset (xy)$ es estricta. De hecho, si tomamos en lugar de $I = (x^2)$$J=(xy)$, a continuación, las inclusiones $(I\cap J)(I+J) \subset IJ \subset I\cap J$ se $$(x^2y)(x^2,xy) = (x^3y)(x,y) \subset (x^3y) \subset (x^2 y),$$ y todos ellos son de estricto inclusiones.

Answer 2

De hecho, es un error por las razones que mencionas. Por ejemplo, si $I=J=4\mathbb Z$ $2\cdot 2\in I\cap J$ $2\cdot 2\in I+J$ pero $2\cdot 2\notin (I\cap J)(I+J)$. La prueba debe leer:

Si $ab\in IJ$$a\in I$$b\in J$,$a,b\in I+J$. Por lo tanto $ab\in I(I+J)$$ab=ba\in J(I+J)$, lo $ab\in I(I+J)\cap J(I+J)=(I\cap J)(I+J)$.

Answer 3

Tienes razón, la afirmación es falsa general de los anillos. Como se comentó en Atiyah-Macdonald (página 6),

Un ejemplo de un anillo donde la afirmación es falsa es $\mathbb{Z}[x]$, por ejemplo, con $\mathfrak{a}=(2)$$\mathfrak{b}=(x)$. Tenemos $$(\mathfrak{a}+\mathfrak{b})(\mathfrak{a}\cap\mathfrak{b})=(2,x)(2x)=(4x,2x^2)\subsetneq (2x)=\mathfrak{a}\mathfrak{b}.$$