Patrones de los ceros de los polinomios de Faulhaber (modificados)

Question

Faulhaber polinomio de orden $p \in \Bbb{N}$ se define como el único polinomio de grado p $+1$ de satisfacciones

$$ S_{p}(n) = \sum_{k=1}^{n} k^p $$

para $n = 1, 2, 3, \cdots$. Por ejemplo,

\begin{align*} S_0(x) y= x, \\ S_1(x) &= \frac{x(x+1)}{2}, \\ S_2(x) &= \frac{x(x+1)(2x+1)}{6}, \\ S_3(x) &= \frac{x^2 (x+1)^2}{4}. \end{align*}

Con el fin de captar algo de la intuición en la descomposición parcial de $1/S_p (x)$, traté de que el trazado de la compleja ceros de $S_p (x)$. En los siguientes gráficos se muestra la distribución de los ceros de $S_{800}(x)$.

(La precisión del cálculo de los ceros de $z_j$ de $S_{800}(z)$ por encima satisfacer $|f(z_j)| \leq 10^{-300}$.)

Resulta que se exhibe una muy cuidada, pero que sigue siendo un extraño patrón como se ha visto anteriormente.

Hasta ahora nunca he oído hablar de temas relacionados con este patrón, y quiero saber (por curiosidad) si hay algunos resultados relacionados con el patrón de ceros de $S_p(x)$.

Adenda. La anterior aproximada de gráficos resultó ser el resultado de un error numérico. Ahora he quitado esos errores.

Answer 1

(Esto es solo un comentario, de verdad.)

En primer lugar, parece que los ceros son simétricas respecto a la línea de $x=-1/2$, y de hecho los polinomios

$$ F_p(z) = S_p(z-1/2) $$

parecen tener sólo o, incluso, sólo impar poderes de $z$.

Parece que los ceros no en el eje real de crecer en el orden de us $p/(2\pi$. Numéricamente tienen el mismo comportamiento limitante como los ceros de las sumas parciales de la del seno y del coseno de la serie (consulte este documento [PDF]), así como las sumas parciales de las funciones de Bessel (ver este preprint).

Abajo es un dibujo de los ceros de $F_p\left(\frac{p}{2\pi}z\right)$ $p=400$, junto con la modificación de la curva Szegő

$$ \begin{align} &\left\{z \in \mathbb{C} \,\colon \Im(z) \geq 0,\,\,\, |z| \leq 1, \,\,\,\text{y}\,\,\, \left|ze^{1+iz}\right| = 1 \right\} \\ &\qquad \cup \,\left\{z \in \mathbb{C} \,\colon \Im(z) \leq 0,\,\,\, |z| \leq 1, \,\,\,\text{y}\,\,\, \left|ze^{1-iz}\right| = 1 \right\} \\ &\qquad \cup \,\left\{x \in \mathbb{R} \,\colon -1/e \leq x \leq 1/e \ \ derecho\} \end{align} $$

en azul.

Es posible que exista una conexión con los ceros de los polinomios de Bernoulli $B_p(x)$ como resultado de que el hecho de que

$$ S_p(z) = \frac{B_{p+1}(z+1) - B_{p+1}(0)}{p+1}. $$

Puede que desee echar un vistazo a Karl Dilcher de las memorias de los Ceros de Bernoulli Generalizada de Bernoulli y Euler Polinomios y este artículo de John Mangual.

Answer 2

Como una adición a Antonio Vargas respuesta, vamos a demostrar que las raíces de $S_p$ son, de hecho, se distribuyen simétricamente alrededor de $-1/2$, o en otras palabras que si $r$ es una raíz, entonces también lo es de $-1-r$. Un poco más precisa resultado es que $S_p(-1-x) = S_p(x)$ cuando $p$ es impar, y $S_p(-1-x) = -S_p(x)$ cuando $p$ es incluso (lo que confirma que el polinomio $T(x) := S_p(x-1/2)$ es una función impar (sólo tiene impar poderes de $x$) si $p$ es, incluso, y es una función par (sólo tiene incluso poderes de $x$) si $p$ es impar).

El principio clave es que un polinomio es el polinomio cero fib tiene infinitamente muchas raíces. Por ejemplo, $f(x) = g(x)$ si $f(n) = g(n)$ para todo $n \in \mathbb{N}$, y un polinomio $h$ es constante si $h(n) = h(0)$ para todo $n \in \mathbb{N}$. Si $h$ es un polinomio tal que su primera diferencia $(\Delta h)(x) := h(x) - h(x-1)$ satisface $(\Delta h)(n) = 0$ para todo $n \in \mathbb{N}$, entonces $h$ es constante con valor constante de $h(0)$.

Así tenemos $(\Delta S_p)(x) = S_p(x) - S_p(x-1) = x^p$ así $S_p(-x) - S_p(-1-x) = (-1)^p x^p$. Fijo $p$, $g(x) := S_p(-1-x)$, de modo que $g(x-1) = S_p(-1-(x-1)) = S_p(-x)$. Así

$$\Delta g(x) = g(x) - g(x-1) = S_p(-1-x) - S_p(-x) = (-1)^{p+1} x^p$$

lo que equivale a $\Delta S_p(x)$ si $p$ es impar, y $-\Delta S_p(x)$ si $p$ es par. Así, en el caso de que $p$ es impar, $\Delta(g-S_p) = 0$; aplicar el principio anterior, $g$ y $S_p$ difieren por una constante: $S_p(-1-x) = S_p(x) + c$ constantes $c$. Para $x=0$, se nota que $S_p(0) = 0$ y $S_p(0) - S_p(-1) = 0^p = 0$ para $S_p(-1) = 0$. De ello se sigue que $c = 0$, y llegamos a la conclusión de $S_p(-1-x) = S_p(x)$ si $p$ es impar.

El caso donde $p$ es totalmente similar. Allí se derivan de $\Delta(g + S_p) = 0$, entonces $g(x) + S_p(x) = c$ constantes $c$, y se argumenta como antes de que $c = 0$, así que, en este caso $S_p(-1-x) = -S_p(x)$.

Answer 3

Además de Antonio del comentario/respuesta: Busca en las raíces reales (simétrico mediante la adición de +1/2 (!)) de la 1,5,9,13,... polinomio se obtiene el siguiente de la lista, donde sólo los primeros tres raíces reales son números racionales. La velocidad de convergencia a la media enteros es impresionante... $$\small \begin{matriz} 0 & 1/2 & . & . & . & . & . & . \\ 0 & 1/2 & -1/2 & 0.763762615826 & -0.763762615826 & . & . & . \\ 0 & 1/2 & -1/2 & 0.949106003964 & -0.949106003964 & . & . & . \\ 0 & 1/2 & -1/2 & 0.999056597832 & -0.999056597832 & . & . & . \\ 0 & 1/2 & -1/2 & 0.999997848581 & -0.999997848581 & . & . & . \\ 0 & 1/2 & -1/2 & 0.999999998198 & -0.999999998198 & -1.50196566814 & 1.50196566814 & 1.74815179290 \\ 0 & 1/2 & -1/2 & 0.999999999999 & -0.999999999999 & -1.50001155318 & 1.50001155318 & 1.93305092402 \\ 0 & 1/2 & -1/2 & 1.00000000000 & -1.00000000000 & -1.50000003663 & 1.50000003663 & 1.99704558735 \\ 0 & 1/2 & -1/2 & 1.00000000000 & -1.00000000000 & -1.50000000007 & 1.50000000007 & 1.99997147602 \\ 0 & 1/2 & -1/2 & 1.00000000000 & -1.00000000000 & -1.50000000000 & 1.50000000000 & 1.99999984071 \\ 0 & 1/2 & -1/2 & 1.00000000000 & -1.00000000000 & -1.50000000000 & 1.50000000000 & 1.99999999943 \\ 0 & 1/2 & -1/2 & 1.00000000000 & -1.00000000000 & -1.50000000000 & 1.50000000000 & 2.00000000000 \\ 0 & 1/2 & -1/2 & 1.00000000000 & -1.00000000000 & -1.50000000000 & 1.50000000000 & 2.00000000000 \\ 0 & 1/2 & -1/2 & 1.00000000000 & -1.00000000000 & -1.50000000000 & 1.50000000000 & 2.00000000000 \\ 0 & 1/2 & -1/2 & 1.00000000000 & -1.00000000000 & -1.50000000000 & 1.50000000000 & 2.00000000000 \\ 0 & 1/2 & -1/2 & 1.00000000000 & -1.00000000000 & -1.50000000000 & 1.50000000000 & 2.00000000000 \end{matriz} $$ Las raíces complejas se pueden encajar en el patrón tal vez por sus valores absolutos, pero esta ingenua idea todavía no es convincente para mí

Answer 4

Otra característica fascinante de los ceros de las cantidades de energía es que para todos $k\geq 3$, la parte racional de cualquier cero no trivial de $S_k(x)$ siempre es igual a 1 $/ 2$. Este es un análogo de la hipótesis de Riemann para las cantidades de energía! Véase también el artículo de J. Singh (2009): http://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S179304210900189X