Cómo múltiples objetos en contacto se resuelven en una colisión inelástica, al borde de las normales no "line up"

Question

En un caso entiendo, digamos que tengo Un objeto en movimiento a velocidad V hacia los 3 objetos en contacto B, C, y D:

El impulso de Una es la masa de Un veces su velocidad. Para averiguar cómo la colisión inelástica termina cuando golpea B, I la suma de las masas de a, B, C, y D, y dividir el viejo impulso de Una por la suma de esas masas. Que es la velocidad de los 4 objetos que terminan con. Fácil y extensible!

Pero cuando los objetos están en contacto a lo largo de los bordes con las normales que no son paralelas a la original de impulso:

Como aquí, con C ensuciar la buena buena solución que tenía para el sistema anterior. Sé que cuando los objetos chocan, son expulsados a lo largo de la normal de el borde de contacto. De manera que D se va a mover hacia arriba y a la derecha en un ángulo, y, presumiblemente, C y E se necesita para obtener empujado hacia abajo para conservar el impulso. Además, todavía tengo que lidiar con mi impulso de Una empujar las cosas hacia la derecha. Estoy bastante seguro de D se mueve a la derecha más lento que el de a, B, y c, y E no se mueve a la derecha del todo, suponiendo que no hay fricción. A la derecha?

¿Cuál es la suma de la masa a utilizar en la ecuación que se utiliza para resolver el primer problema? Puedo simplificar esta en las ecuaciones de lidiar con la "ramificación" de la "vía principal" (D ramificando, y C + E ramifican?)? Necesito entender esto como un caso general, no simplemente la solución a este problema... Cualquier posible conjunto de polígonos convexos en contacto antes de ser golpeado. ¿Cómo funciona esto?

También me pregunto cómo lidiar con este parcialmente con las colisiones elásticas... Parece que sería bastante loco, especialmente con los sistemas más complicados que los de mi 2ª ejemplo.

Answer 1

Voy a ignorar las rotaciones con el fin de simplificar el problema para su comprensión. Usted tiene que cumplir una serie de inelástica relación de la forma

$$\vec{n}_{k}^\top (\vec{v}_i^+-\vec{v}_j^+) = 0$$

donde $\vec{n}_k$ es la dirección normal de la $k$-ésimo de contacto, y $i$, $j$ son los órganos de este contacto afecta. El superíndice $\phantom{c}^+$ denota condición después del impacto. Aplicar esta relación con una serie de $k$ impulsos $J_k$ tal que

$$\vec{v}_i^+ = \vec{v}_i + \frac{\vec{n} J_k}{m_i}$$ $$\vec{v}_j^+ = \vec{v}_j - \frac{\vec{n} J_k}{m_j}$$

Ya que todo tiene que ocurrir al mismo tiempo es la mejor forma el problema de las matrices.

Considere la posibilidad de un Contacto de la matriz $A$ donde cada columna $k$ +1 en el $i$-ésima fila y -1 en el $j$-ésima fila. Por ejemplo, $A = \begin{pmatrix}0&-1 \\ -1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ significa que hay dos contactos, uno entre el cuerpo, 2 y 4 y otro entre el cuerpo 1 y 4. (en realidad cada 0 y 1 son 2×2 2D o de 3×3 para 3D cero y la identidad de las matrices).

El inelástica las relaciones son

$$N^\top A^\top v^+ =0$$ con el contacto normal bloque diagonal de la matriz $$N = \begin{pmatrix} \vec{n}_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \vec{n}_2 & & 0 \\ \vdots & & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \vec{n}_K \end{pmatrix}$$ y $$v = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_N \end{pmatrix}$$

El impulso de cambio es descrito por la relación

$$M v^+ = M v - A N J$$ where $M$ is the block diagonal mass matrix $M=\begin{pmatrix}m_1& & & \\ &m_2 & & \\& & \ddots & \\ & & & m_N\end{pmatrix}$ and $J$ the vector of impulses $J^\top=(J_1\,J_2\,\cdots J_K)$

Para resolver el problema combinamos el impulso con el inelástica de colisiones para obtener

$$v^+ = v - M^{-1} A N J$$ $$N^\top A^\top \left(v - M^{-1} A N J \right) = 0$$ $$\left(N^\top A^\top M^{-1} A N\right) J = N^\top A v$$

$$\boxed{ J = \left(N^\top A^\top M^{-1} A N\right)^{-1} N^\top A v }$$

Ejemplo

Con $A$ anterior (4 2D cuerpos, 2 contactos) y $\vec{v}_i = (\dot{x}_i,\dot{y}_i)^\top$, $\vec{n}_1=(1,0)^\top$, $\vec{n}_2 = (0,1)^\top$ entonces

$$A = \left(\begin{array}{cc|cc} 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1\\ \hline -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \hline 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right)$$

$$N = \left(\begin{array}{c|c} 1 & 0\\ 0 & 0\\ \hline 0 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)$$

$$M = \left(\begin{array}{cc|cc|cc|cc} m_{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & m_{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \hline 0 & 0 & m_{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & m_{2} & 0 & 0 & 0 & 0\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & m_{3} & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & m_{3} & 0 & 0\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & m_{4} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & m_{4} \end{array}\right)$$

$$v = \begin{pmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{y}_1 \\ \hline \dot{x}_2 \\ \dot{y}_2 \\ \hline \dot{x}_3 \\ \dot{y}_3 \\ \hline \dot{x}_4 \\ \dot{y}_4 \end{pmatrix}$$

$$N^\top A^\top M^{-1} A N = \left(\begin{array}{cc} \frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{4}} & 0\\ 0 & \frac{1}{m_{2}} + \frac{1}{m_{4}} \end{array}\right)$$ $$N^\top A^\top v = \begin{pmatrix} \dot{x}_4-\dot{x}_2 \\ \dot{y}_4 - \dot{y}_2 \end{pmatrix}$$

$$J = \begin{pmatrix} \frac{\dot{x}_4-\dot{x}_2}{\frac{1}{m_2}+\frac{1}{m_4}} \\ \frac{\dot{y}_4-\dot{y}_1}{\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_4}} \end{pmatrix}$$

Entonces

$$v^+ = v - M^{-1} N J = \begin{pmatrix} \dot{x}_1 \\ \frac{m_1 \dot{y}_1 + m_4 \dot{y}_4}{m_1+m_4} \\ \frac{m_2 \dot{x}_2 + m_4 \dot{x}_4}{m_2+m_4} \\ \dot{y}_2 \\ \dot{x}_3 \\ \dot{y}_3 \\ \frac{m_2 \dot{x}_2 + m_4 \dot{x}_4}{m_2+m_4} \\ \frac{m_1 \dot{y}_1 + m_4 \dot{y}_4}{m_1+m_4} \end{pmatrix}$$

Apéndice

Para incluir rotaciones de seguir las directrices aquí:

• http://www.cs.cmu.edu/~baraff/sigcourse/notesd1.pdf
• http://www.cs.cmu.edu/~baraff/sigcourse/notesd2.pdf

Answer 2

No está claro, en general, de cómo el modelo de la inelástica con respecto al carácter de las colisiones de dichos órganos. Para el motor de arranque, vamos a asumir que las colisiones son elásticas.

Para averiguar cómo la colisión inelástica termina cuando golpea B, I la suma de las masas de a, B, C, y D, y dividir el viejo impulso de Una por la suma de esas masas. Que es la velocidad de los 4 objetos que terminan con.

Que sólo funcionan si los objetos a, B, C, D pegados juntos después de la colisión y se mueve como un solo cuerpo. Si no hay ningún mecanismo adhesivo (bolas de billar), no es posible tratar a los objetos como un solo cuerpo. Lo mismo vale también para las colisiones que no son elásticas.

En su lugar, usted se puede imaginar que los objetos son inicialmente ligeramente separadas, de modo que toque sólo cuando colisionan. La colisión de los cuerpos rígidos y la mayoría de las veces sólo sucede en un instante de tiempo. Usted puede determinar cómo cada cuerpo se mueva mediante el cálculo de lo que sucede en cada colisión.

Para dar cuenta de la inelasticity, usted puede modelar los cuerpos no rígidos, sino como cuerpos con muebles plano de caras obtenido en posiciones de equilibrio con respecto a algunos de los más pequeños núcleo rígido de la primavera-como las fuerzas, mientras que el movimiento de estos aviones experiencias de la fuerza de fricción a la hora de moverse. Esto ya se lleva a algunas ecuaciones diferenciales, pero al menos uno debe ser capaz de evitar complicado de elementos finitos cálculos.