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La existencia de una antiderivada en UV, si es que existe tanto en U V

Yo estoy haciendo este ejercicio donde sé que una función f que es holomorphic en UV, tiene un holomorphic antiderivada en U y también otro holomorphic antiderivada en V donde U,VC están abiertos conjuntos tales que a UV UV está conectado.

Entonces la pregunta es para probar que f tiene un holomorphic antiderivada en la unión de UV, y proporcione un contraejemplo para mostrar que la hipótesis en la intersección de las UV son necesarios para que el resultado sea verdadero.

Mi intento

Pensé que ya que hay holomorphic funciones de F:UC G:VC tal que F=fUG=fV, a continuación, en la intersección de ambos modelos coinciden así en UV tenemos F=G F=G+C UV donde C es una constante. Pero ahora mi problema es que no veo la manera de hacerlo extensivo a toda la unión,UV, y no veo donde voy a utilizar la conexión de la asunción.

Así que si usted me podría ayudar con mi argumento estaría muy agradecido. Por cierto, si usted también podría darme una pista para construir un contraejemplo que sería genial. Gracias.

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Michael Hardy Puntos 128804

Supongamos f(z)=1/z. Deje U el de apertura superior a la mitad del plano-además de una pequeña zona que rodea a 1 (digamos un disco abierto de radio 1/10) y otra de los alrededores 1. Deje V el de apertura inferior a la mitad del plano-además de una pequeña zona que rodea a 1 y otra de los alrededores 1.

A continuación, f tiene un holomorphic antiderivada en U y otro en V, pero si no me equivoco, no tiene ninguno en UV.

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