Yo estoy haciendo este ejercicio donde sé que una función f que es holomorphic en U∪V, tiene un holomorphic antiderivada en U y también otro holomorphic antiderivada en V donde U,V⊆C están abiertos conjuntos tales que a U∩V≠∅ U∩V está conectado.
Entonces la pregunta es para probar que f tiene un holomorphic antiderivada en la unión de U∪V, y proporcione un contraejemplo para mostrar que la hipótesis en la intersección de las U∩V son necesarios para que el resultado sea verdadero.
Mi intento
Pensé que ya que hay holomorphic funciones de F:U→C G:V→C tal que F′=fUG′=fV, a continuación, en la intersección de ambos modelos coinciden así en U∩V tenemos F′=G′ F=G+C U∩V donde C es una constante. Pero ahora mi problema es que no veo la manera de hacerlo extensivo a toda la unión,U∪V, y no veo donde voy a utilizar la conexión de la asunción.
Así que si usted me podría ayudar con mi argumento estaría muy agradecido. Por cierto, si usted también podría darme una pista para construir un contraejemplo que sería genial. Gracias.