Números primos y divisibilidad

Question

Demostrar que para todos los números primos $p,q>3$ tiene $$48|p^4-q^4$$

Mi solución:

$$48=2^43$$ $$p^4-q^4=(p-q)(p+q)(p^2+q^2)$$ Ya que sumando o restando números Impares, obtenemos un número par, $p^4-p^4$ es divisible por $2^3$ . ¿Qué tal otro $2$ y $3$ ?

Answer 1

Desde $p,q\equiv 1,3\pmod 4$ Uno de los $p-q,p+q$ es $\equiv 0\pmod 4$ .

Desde $p,q\equiv 1,2\pmod 3$ Uno de los $p-q,p+q$ es $\equiv 0\pmod 3$ .

Dado que cada uno de $p-q,p+q,p^2+q^2$ está en paz, $p^4-q^4$ es divisible por $48$ .

Answer 2

Para $3$ , tenga en cuenta que $2^4 \equiv 1^4 \equiv 1 \pmod 3$ Así que $p^4 - q^4 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod 3$ .

Para $2^4$ , usted tiene $(p + q) \equiv (p - q) \equiv 0 \pmod 2$ . Desde $p, q$ son Impares, equivalen a $1$ o $3 \pmod 4$ . $3^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod 4$ así que $p^2 - q^2 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod 4$ .

Si se juntan, se obtiene el resultado.