¿Hay ejemplos que sugieren la hipótesis de Riemann pueden ser falsa?

Question

Hay ejemplos que podrían sugerir la hipótesis de Riemann es falsa?

Quiero decir, hay un zeta función $ \zeta (s,X) $ para algún objeto matemático de $X$, con las propiedades

• $ \zeta (1-s,X) $ y $ \zeta (s,X)$ están relacionados por una ecuación funcional.

• $\zeta (s,X) $, puede ser ampliado en un producto de Euler $ \zeta (s,X)= \prod _{i}(1-N(i)^{s})^{-1}$.

• los zeta de la función $\zeta (s,X) $ tiene ceros de la forma $ a+bi$ con $b\ne0$ por $un$ diferentes de $\frac 12$.

Es decir, una función zeta con propiedades similares a la de Riemann zeta pero con ceros fuera de la línea crítica.

Answer 1

La respuesta es sí o no, dependiendo de cómo rigurosamente a interpretar sus diversas necesidades. Usted debe buscar en la discusión de la Selberg clase de funciones, que es Selberg del conjetural de la caracterización de las funciones de la satisfacción de la Hipótesis de Riemann. En particular, si usted lee los comentarios de la definición en la entrada de la wikipedia, obtendrá una idea de por qué esas son las condiciones precisas en un "$\zeta$-tipo de función", que son necesarias para garantizar el RH.

Como una forma concreta (contador)ejemplo, considere la función $$\eta(s) = 1 - 2^{-s} + 3^{-s} - 4^{-s} + \cdots,$$ a veces se llama la de Dirichlet $\eta$-función. Se admite un funcional de la ecuación de Euler del producto, pero no satisface RH. No es en el Selberg clase porque a pesar de que admite que una de Euler, Euler factores no se cumplen las condiciones adecuadas. (Esto se discute en la entrada de la wikipedia sobre el Selberg de clase).

Answer 2

Hay el de Bruijn Newman constante $\Lambda $. RH es equivalente que $\Lambda \leq 0$. Hasta ahora se sabe $2.7 \cdot 10 ^ {-9} < \Lambda \leq 1/2$. Ver http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/debruijn.newman.pdf