La continuidad de la inversa de la $f^{-1}$ $f(x)$ al $f$ es bijective y continua en $x$.

Question

Demostrar o refutar: Vamos a $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ser bijective y $f$ es continua en a $x$. A continuación, $f^{-1}$ es continua en a $f(x)$.

Todas las sugerencias son bienvenidas. Si esto es falso, me gustaría tener un contraejemplo.

He probado el $\epsilon,\delta$ argumento y sé que esta afirmación puede no ser cierto. Pero este problema solo cuenta la continuidad en un punto, y la función no puede ser monótona, por ejemplo:

$$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=\begin{cases}x,&x\in\mathbb{Q}\\ -x,&x\notin\mathbb{Q}\end{casos}$$

Esta función es bijective y sólo es continuo en $0$, y no es monótono.

Answer 1

Creo que el siguiente podría ser un contraejemplo.

Definamos $f \colon [0,3] \to [0,3]$ como sigue: $$ \begin{align} f\left(\frac 1n\right)&=\frac1{2n}; \text{ for }n=1,2,3,\dots;\\ f\left(3-\frac1{2n}\right)&=\frac1{2n+1}; \text{ for }n=1,2,3,\dots;\\ f\left(3-\frac1{2n+1}\right)&=3-\frac1{n}; \text{ for }n=1,2,3,\dots;\\ f(x)&=x; \text{ if %#%#% does not have the form %#%#% or %#%#%} \end{align} $$

En otras palabras, estamos trabajando sólo con los puntos de la forma $x$ $\frac1n$ y no nos movemos de otros puntos. Los puntos de la forma $3-\frac1n$ se asignan a $1/n$. Hasta ahora no tenemos nada se asignan a los puntos de la forma $3-1/n$, por lo que utilizar la mitad de los puntos de la forma $1/n$ para obtener algo que se asignan a ellos.

La función de $1/(2n)$ es bijective, es continua en a $1/(2n+1)$, pero $2-\frac1n$ no es continua en a $f$. (Para ver esto simplemente tome $0$ y el aviso de que $f^{-1}$$0$.)

La idea básica es muy similar a la general "de Hilbert del hotel" la idea, como aquí y en muchos otros la construcción de bijections. Espero que, al menos en cierta medida, me las arreglé para la captura de la construcción en la siguiente imagen, que podría ayudarte a ti a ver este ejemplo.

EDIT: he añadido uno más de la versión de la imagen. Las líneas de puntos podría hacer más fácil para ver cuál de los "lleno" y "vacío" círculos tienen las mismas coordenadas x/las mismas coordenadas.

Answer 2

Así que primero me gustaría considerar lo que un bijective función es:

Una función de $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es bijective si es a la vez inyectiva y surjective.

La próxima vamos a ver qué surjective y inyectiva decir:

Una función de $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es inyectiva dado que el $x \neq y \implies f(x) \neq f(y)$

y surjective:

Una función de $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es surjective si $\forall \; y \in \mathbb{R} \; \exists \; x \in \mathbb{R} \; s.t. \; f(x) = y$ o en el conjunto de la notación $f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}$

Ahora, dado que algunos $x \in \mathbb{R}$ echemos un vistazo a la definición de continuidad en un punto.

Una función de $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es continua en a $x$ si $\forall \; \epsilon > 0 \; \exists \; \delta > 0 \; s.t. \; \lvert x - y \rvert < \delta \implies \lvert f(x) - f(y) \rvert < \epsilon$ o más concisa, y asumiendo que no hay ningún aislado puntos: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

Ok, ahora sabemos que esta función es surjective (ya que es bijective) y sabemos que no hay puntos aislados que $f$ toma (hágamelo saber si usted no entiende nada de esto, me di cuenta de que yo podría estar hablando demasiado avanzados de cosas para esta pregunta) por lo que podemos utilizar la segunda definición de la continuidad de la $f$. Así que sabemos

$$ \lim_{y \a x} f(y) = f(x) $$

Ahora bien, si nos fijamos en la función inversa, sabemos que es así bijective (un bijective función tiene un bijective inversa - no está seguro de si usted está autorizado a asumir esto, si no eres una simple prueba por contradicción podría funcionar). Ahora nuestro objetivo es mostrar que

$$ \lim_{y \a f(x)} f^{-1}(y) = f^{-1} (f(x)) = x $$

¿Esta ayuda? ¿Necesitas más ideas?

Answer 3

Creo que tengo una forma mucho más simple la respuesta...

Considere la posibilidad de $(\mathbb{R},d)$ $(\mathbb{R},d_{\text{disc}})$ donde $d$ es el estándar métrico y $d_{\text{disc}}$ es el discreto métrica. A continuación, considere la identidad de las asignaciones $$\iota: (\mathbb{R},d) \to (\mathbb{R},d_{\text{disc}})$$ y $$\iota^{-1}: (\mathbb{R},d_{\text{disc}}) \to (\mathbb{R},d).$$ Aviso de que uno de estos es continua (usted debe ver rápidamente que uno) y es claramente bijective, pero a la inversa no.