Cómo muchas de las soluciones de la ecuación de $x^2-y^2=1$ hay con $x,y\in\mathbb F_{p^n}$?

Question

Deje $p>2$ ser un extraño prime. Deje $\mathbb F_{p^n}$ a ser el campo con $p^n$ elementos. Cómo muchas de las soluciones de la ecuación de $x^2-y^2=1$ hay con $x,y\in\mathbb F_{p^n}$?

Mi trabajo:

Char $F=p$.

$x^2-y^2=(x+y)(x-y)=1$. Ya que estamos buscando $x,y\in F$, $x+y,x-y\in F$ y si $x+y=\alpha$, $x-y=\alpha^{-1}$. Por lo tanto, $\displaystyle x=\frac{\alpha+\alpha^{-1}}{2}, y=\frac{\alpha-\alpha^{-1}}{2}$. Me quedé después, ya que no puedo encontrar los distintos conjuntos de $x,y$ a partir de estas relaciones. Puede alguien por favor me das una pista?

Answer 1

Si quieres algo aún más explícita que la de André mención del hecho, tenga en cuenta que tenemos

$$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \alpha \\ \alpha^{-1}\end{pmatrix}$$

dado que la característica no es $2$ y el determinante de dicha matriz es $2$, vemos que

$$2^{-1}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \alpha \\ \alpha^{-1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}$$

Por lo que establece el bijection, en particular a partir de allí se $p^n-1$ elementos $\alpha\in F$, de modo que $\alpha^{-1}$ existe, tenemos allí se $p^n-1$ total de soluciones.

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Por cierto, si la característica es $2$, esto es aún más fácil: $a^2-b^2=(a-b)^2$, por lo que es fácil ver que todo lo que usted necesita hacer para resolver

$$(x-y)^2-1^2=(x-y-1)^2=0.$$

Por supuesto, en este caso claramente ha $p^n$ total de soluciones, dado por $(x, x-1)$$x\in F$.

Answer 2

Aquí es una respuesta parcial por $n = 1$. Es posible extender esta prueba en general? He de tener problemas para hacer esto ya que no podemos utilizar el símbolo de legendre.

De todos modos, denotan $N(x^2-y^2 = 1)$ a ser el número de soluciones. Entonces $$N(x^2-y^2 = 1) = \sum_{a+b = 1} N(x^2 = a)N(y^2 = -b).$$

Ahora$N(x^2 = a) = 1+ \left( \frac{a}p \right)$, por lo que

$$N(x^2-y^2 = 1) = \sum_{a+b= 1}1 + \sum_a \left( \frac{a}p \right)+\sum_{-b} \left( \frac{-b}p \right)+\sum_{a+b= 1}\left( \frac{a}p \right) \left( \frac{-b}p \right).$$

La primera suma es, obviamente, $p$ y es bien conocida la consecuencia de que en los próximos dos sumas se $0$. Ahora el uso de Jacobi sumas (ver $\star$) podemos llegar a

$$ \sum_{a+b= 1}\left( \frac{a}p \right) \left( \frac{b}p \right) = - (-1)^{\frac{p-1}2}.$$

Así, en la suma que nos interesa, podemos factor $\left( \frac{-1}p \right)$ y dependiendo de si $p \equiv \pm 1 \pmod 4$, $\left( \frac{-1}p \right) = \pm 1$ y podemos encontrar el valor de nuestros suma utilizando el resultado de $\star$. En anycase, tenemos $$N(x^2-y^2 = 1) = p-1.$$

$\star$ Un Clásico de Introducción a la Moderna Teoría de los números por Irlanda y Rosen.

Answer 3

Esta pregunta lo más probable es que surja a partir de una geometría algebraica contexto. Con el fin de visualizar mejor esto, supongamos por un momento que usted está trabajando en $\mathbf{R}$. Entonces usted está considerando la cónica $x^2 - y^2 = 1$. Todos los puntos sobre una curva de grado 2 tiene una fácil parametrización a través del Teorema de Bezout, de manera informal diciendo que el número de puntos de intersección es igual al producto de la titulación. Por lo tanto, se puede considerar el uso de una familia de líneas (grado 1) a la intersección con este grado 2 de la curva, que por el Teorema de Bezout nos debe de dar dos puntos de intersección. Ahora, si elegimos esta línea más cuidadosamente, en particular mediante la fijación de un punto determinado de la curva y teniendo en cuenta las líneas que van a través de ese punto, se cruzará con el cónicas en exactamente un punto (un poco de cuidado necesita ser tomado aquí).

Ahora, no hay nada especial acerca de la $\mathbf{R}$ otros de lo que le da una manera fácil de visualizar la situación. El teorema de Bezout tiene de general campos, incluidos los de característica positiva como la que tenemos aquí. Para aplicar el análisis anterior para el problema en cuestión. Usted debe ser capaz de encontrar fácilmente un punto de la curva y, a continuación, usted puede conseguir todos los otros puntos como la parametrización. No se olvide sobre el paréntesis de advertencia de lo que puede ir mal (dibujar una imagen en el caso real con una familia de líneas). En este punto, la teoría de la mayoría de las paradas y el cálculo de patadas en el.