¿La integral de trabajo de pruebas en las dimensiones superiores?

Question

La integral de la prueba de la convergencia de los estados que, si $f:[1,+\infty)\to[0,+\infty)$ es monótonamente decreciente de la función no negativa, entonces la serie $\sum_1^\infty f(n)$ converge iff $\int_1^\infty f(n) dn$ es finito.

Es la alta dimensión de generalización también verdad? Es decir, dada $f:[1,+\infty)^N \to[0,+\infty)$, e $f(\dotsc,n_i,\dotsc) \ge f(\dotsc,n_i+\epsilon,\dotsc)$ todos los $1\le i\le N$$n_i\in[1,+\infty)$$\epsilon>0$, entonces la suma $$ \sum_{n_1=1}^\infty \cdots \sum_{n_N=1}^\infty f(n_1,\dotsc,n_N) $$ converge iff la integral múltiple $$ \int_1^\infty \cdots \int_1^\infty f(n_1,\dotsc,n_N) dn_1 \dotsm dn_N $$ es finito.

_{(Esto es sólo para comprobar si mi respuesta sobre la física.SE que es razonable.)}

Answer 1

No es cierto en general, pero la dirección usada en la física.SÍ la respuesta es. Es decir, si la suma converge, entonces la integral no demasiado. La disminución de la hipótesis implica que el valor máximo de $f$ sobre el cubo de $[n_1,n_1+1]\times\cdots\times[n_N,n_N+1]$$f(n_1,\ldots,n_N)$, de modo que la integral sobre ese cubo es menor o igual a $f(n_1,\ldots,n_N)$. La suma de las integrales sobre todos los cubos se obtiene el resultado.

El problema con la otra dirección es la función puede dejar a cero en algunas direcciones con la suficiente rapidez para hacer la integral converge, mientras que el permanecer demasiado grande en la otra dirección, por la suma converge. Por ejemplo, $N=2$, $f(x,y)=1$ si $x=1$, $f(x,y)=0$ de lo contrario.

Con un adicional de "cambio" se puede ir de integral de convergencia de la suma de convergencia. La disminución de la hipótesis implica también que el valor mínimo de $f$ sobre el cubo de $[n_1,n_1+1]\times\cdots\times[n_N,n_N+1]$$f(n_1+1,\ldots,n_N+1)$, de modo que la integral sobre ese cubo es mayor que o igual a $f(n_1+1,\ldots,n_N+1)$. Mediante la suma de las integrales sobre todos los cubos, esto implica que

$$ \sum_{n_1=2}^\infty \cdots \sum_{n_N=2}^\infty f(n_1,\ldots,n_N) \leq \int_1^\infty \cdots \int_1^\infty f(x_1,\ldots,x_N) dx_1 \dotsm dx_N. $$