Un armario contiene 10 pares de zapatos. Si se seleccionan 8 zapatos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya exactamente 1 par completo?

Question

Lo que entiendo es que hay 10 maneras de elegir el par de zapatos de entre los 10. Ya que los zapatos restantes no pueden coincidir, hay $ \left ( \begin {matrix} 9 \\ 6 \end {matrix} \right ) $ formas de elegir los pares de los cuales seleccionar los zapatos restantes, $2^6$ formas de seleccionar zapatos individuales de los 6 pares, y divididos por $ \left ( \begin {matrix} 20 \\ 8 \end {matrix} \right ) $ formas de seleccionar 8 zapatos de 20. Esto nos da

$ \dfrac { \left ( \begin {matrix} 9 \\ 6 \end {matrix} \right ) \times 10 \times 2^6 } { \left ( \begin {matrix} 20 \\ 8 \end {matrix} \right ) }$

Esto da una probabilidad de $ \dfrac {1792} {4199}$ . Pero eso no parece del todo correcto, creo que me estoy perdiendo algo. Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

A mí me parece bien. En general hay $ \binom {10}k \binom {10-k}{8-2k}2^{8-2k}$ formas de elegir el $8$ zapatos para conseguir exactamente $k$ pares, siendo su cálculo el caso $k=1$ y una rápida comprobación numérica confirma que

$$ \sum_ {k=0}^4 \binom {10}k \binom {10-k}{8-2k}2^{8-2k}= \binom {20}8\;.$$

Answer 2

Aquí hay una forma, usando permutaciones.

Un par puede ser elegido y alineado en ${10 \choose 1} \cdot8\cdot7 = 560$ y para los zapatos que quedan, el resto del numerador se asegura de que no se seleccione ningún otro par

$$ \begin {align} & \frac {560 \cdot 18 \cdot 16 \cdot 14 \cdot 12 \cdot 10 \cdot 8}{20 \cdot19\cdot18\cdot17\cdot16\cdot15\cdot14\cdot13 } \\ [2ex] \text {which amounts to the same as}\;\; & \dbinom {10}{1} \times \dbinom {9}{6} \times 2^6 \Big / \dbinom {20}{8} \end {align}$$

Answer 3

Hay otro método para resolver este problema, aunque es bastante largo

Hay ${10}\choose{1}$ formas de seleccionar un par. Ahora cada par tiene un zapato izquierdo y uno derecho. El número de formas de elegir los 6 zapatos restantes de manera que no se seleccione ningún par puede hacerse de la siguiente manera - todos los izquierdos, 5 izquierdos 1 derecho, 4 izquierdos 1 derecho .... hasta que se elijan todos los zapatos derechos, esto se convierte en- ${9}\choose{6}$ + ${9}\choose{5}$$ {4}\choose{1}$+......

Esto se puede dividir por el ${20}\choose{8}$ formas. La respuesta resulta ser la misma que la anterior.