¿Alguien sabe de un dominio?
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Usted puede encontrar Matlis papel de La Dos-Generador Problema Ideales para ser interesante, ya que su principal teorema de las preocupaciones de la clase de integral dominios en los que cada ideal es generado por dos elementos.
Fue comprobado por Cohen (en Anillos Conmutativos con restricciones de Condición Mínima ) que un integrante de dominio con la propiedad de que existe un entero $n$ de manera tal que cada ideal que puede ser generado con menos de $n$ elementos deben ser Noetherian y de Krull de la dimensión 1.
Decir que un integrante del dominio de R tiene la propiedad FD si cada finitely genera torsión libre R-módulo es la suma directa de los módulos de rango 1. Por otra parte, decir que R tiene la propiedad FD localmente si RM tiene la propiedad FD para cada ideal maximal M de R.
Teorema (de forma simplificada) - Vamos a R a ser arbitrario integral de dominio. A continuación, todos los ideales de R puede ser generado por dos elementos si y sólo si R es una noetherian anillo que tiene la propiedad FD localmente.
ParoX
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[Editado para restringir el caso de la cuadrática órdenes. --PLC]
No sea máxima del orden de una ecuación cuadrática campo de número. Esto no es Dedekind porque no se puede ser integralmente cerrado en su campo de fracciones. Cada ideal es un servicio gratuito de abelian subgrupo de clasificación en la mayoría de las $2$.
Por ejemplo: $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}].$
Espero que esto responda a su pregunta. Para leer más sobre los dominios de Dedekind, y no la máxima Órdenes, yo recomiendo el capítulo en que en Neukirch de la Teoría Algebraica de números.
kevtrout
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A modo de comparación, los dominios de Dedekind se caracterizan por una mayor propiedad, a veces conocido coloquialmente como "$1+\epsilon$"generación de los ideales. A saber:
Teorema: Para la integral de dominio $R$, los siguientes son equivalentes:
(i) $R$ es un dominio de Dedekind.
(ii) Para cada valor distinto de cero ideal $I$ $R$ $0 \neq a \in I$ existe $b \in I$ tal que $I = \langle a,b \rangle$.
La prueba de (i) $\implies$ (ii) es una norma de ese tipo de ejercicio que tal vez yo no debería arruinar por dar la prueba aquí. Que (ii) $\implies$ (i) no es tan conocida, aunque lo suficientemente fieles lectores de Jacobon del Álgebra elemental se sabe: él da el resultado del Ejercicio 3 en el Volumen II, Sección 10.2 -- "las Caracterizaciones de los dominios de Dedekind", y lo atribuye a H. de la Hsa. (MathSciNet búsqueda de una persona resultó nada.) El argumento es el siguiente: sin duda la condición implica que $R$ es Noetherian, y un Noetherian de dominio es un dominio de Dedekind iff su localización en cada ideal maximal es un DVR. La condición (ii) pasa a los ideales en la localización, y el golpe mortal se reparte por Nakayama del Lexema.
