Cómo demostrar que toda función de $f(z) = z^2 + \cos{z}$ tiene rango de todos los de $\mathbb{C}$?

Question

He estado pensando en el siguiente ejercicio de un antiguo complejo análisis calificador del examen para algunos días, pero todavía no sé cómo resolverlo. El problema es el siguiente:

Demostrar que toda función de $f(z) := z^2 + \cos{z}$ tiene rango de todos los de $\mathbb{C}$.

Al principio pensé que tal vez podría usar Picard Poco Teorema para obtener una contradicción. Pensé que tal vez teniendo en cuenta la función de $e^{f(z)}$ podría conseguir la contradicción asssuming que $f(z)$ pierde un punto, de modo que la exponencial perdería dos puntos y que estaría en contradicción con Picard Poco Teorema, pero ya que la exponencial es periódico, este argumento no funciona.

Así que mi pregunta es, ¿cómo puede ser demostrado?

Muchas gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Yo creo que una similar de la prueba como en la pregunta ¿Cuál es la imagen cerca de la singularidad esencial en z sen(1/z)? que trabajo aquí.

La función de $g(z) = z + \cos (\sqrt{z})$ es de orden $\frac{1}{2}$ (alguien debería comprobar que...) y así no perder puntos por Picard del primer teorema (el enlace es una búsqueda de libros de google link).