Dígito después del punto decimal de los radicales

Question

Dejemos que $0\leq c\leq 9$ y $2\leq k$ sean números enteros.

¿Existe siempre un número entero positivo $n$ tal que la representación decimal de cada uno de $\sqrt{n},\sqrt[3]{n},\dots,\sqrt[k]{n}$ tiene el dígito $c$ inmediatamente después del punto decimal?

Para $c=0$ podemos elegir $n$ que es un cuadrado perfecto, cubo, ..., $k$ de forma simultánea, mientras que para $c=9$ podemos elegir un gran $n$ que es uno menos que estos poderes perfectos.

Answer 1

Sí, tal $n$ existe. Primero, permítanme demostrar un lema.

Lema : Dejemos que $m>1$ y $\epsilon>0$ . Entonces existe $N$ tal que para todo $x>N$ , $$(x+\epsilon)^{\frac{m}{m-1}}-x^{\frac{m}{m-1}}>2.$$

Prueba del lema: Sea $\alpha=\frac{m}{m-1}$ . Desde $m>1$ , $\alpha>1$ . Escribir $f(x)=x^\alpha$ , $f'(x)=\alpha x^{\alpha-1}$ va al infinito como $x$ va al infinito. En particular, podemos elegir $N$ tal que $f'(x)>2/\epsilon$ para todos $x>N$ . El resultado deseado se deduce ahora por el teorema del valor medio.

Ahora utilizamos el lema con $\epsilon=1/10$ y $m=2,\dots,k$ para elegir $N$ tal que para todo $x>N$ y cualquiera de estos valores de $m$ , $$(x+\epsilon)^{\frac{m}{m-1}}-x^{\frac{m}{m-1}}>2.$$ Ahora fija un número entero $a_k>N$ y que $x_k=a_k+c/10$ . Entonces, por la desigualdad anterior, existe un número entero $a_{k-1}$ de manera que el ajuste $x_{k-1}=a_{k-1}+c/10$ tenemos $$x_k^{\frac{k}{k-1}}<x_{k-1}<x_{k-1}+1/10<(x_k+1/10)^{\frac{k}{k-1}}.$$ Elevando esto a la $(k-1)$ a potencia, esto equivale a $$x_k^k<x_{k-1}^{k-1}<(x_{k-1}+1/10)^{k-1}<(x_k+1/10)^k.$$

Tenga en cuenta también que $x_{k-1}>x_k$ y en particular $x_{k-1}>N$ . Ahora repetimos con $k-1$ en lugar de $k$ y así sucesivamente. Construimos así una secuencia de números $x_k,x_{k-1},\dots,x_2$ , todos los cuales son $c/10$ más que un número entero, satisfaciendo $$x_k^k<x_{k-1}^{k-1}<\dots<x_2^2<(x_2+1/10)^2<\dots<(x_{k-1}+1/10)^{k-1}<(x_{k}+1/10)^k.$$

Por último, podemos elegir un número entero $n$ entre $x_2^2$ y $(x_2+1/10)^2$ . Por las desigualdades anteriores, tenemos $x_m<\sqrt[m]{n}<x_m+1/10$ para $m=2,\dots,k$ por lo que el primer dígito de $\sqrt[m]{n}$ después del decimal es $c$ .

Answer 2

Sí. Intentaré mostrarlo sólo para $k = 3$ pero la idea debería funcionar en general.

Obsérvese que existe $m$ lo suficientemente grande como para que $\sqrt[3]{(m + 1)^2} - \sqrt[3]{m^2} < 0.01$ (por ejemplo). Si estás familiarizado con el cálculo, podemos hacer esto observando que $\frac{d}{dx}x^{2/3}$ converge a $0$ como $x \to \infty$ ; de lo contrario, piense en ello como " $x^a$ crece cada vez más lentamente para los más grandes $x$ si $a < 1$ ."

Ahora, toma $M > m$ tan grande que $(M + 0.a)^2$ y $(M + 0.b)^2$ difieren en al menos $1$ para cada $a \neq b$ . Toma $M' > M$ al menos para que $\sqrt[3]{M'}$ tiene el primer decimal deseado. $\sqrt[3]{(M'+1)^2}$ es como máximo $0.01$ más grande, por lo que tiene ese mismo primer dígito. Toma $n = \mathrm{floor}((M' + 0.c)^2)$ .

La misma idea debería ser perfectamente adaptable a grandes $k$ el resto debería ser una prueba por inducción.