La Comprensión De La Dualidad De Poincaré

Question

Supongamos $M$ es orientado cerrado el colector (de hecho para hacer cosas concretas, vamos a fijar la dimensión 3). He leído una prueba de la dualidad de Poincaré, pero no creo que he desarrollado (geométrica) la comprensión de lo que dice. Traté de leer la "doble complejos" a prueba de boceto en la wikipedia (en virtud de la dualidad de poincaré), pero no tenía sentido para mí.

Yo sería muy feliz si alguien me diría lo que las imágenes que tienen en la cabeza al pensar en la dualidad de Poincaré. Por ejemplo, dada una explícita 2-ciclo de $[\alpha] \in H_2(M; \mathbb{Z})$ y un explícito 1-cadena de $a \in C_1(M; \mathbb{Z})$, lo $PD([\alpha])(a)$ geométricamente representan?

Yo actualmente operan bajo la filosofía de "Pensar Simplicially y Demostrando Singular (y supongo que la informática celularmente)" así que estoy más que contento con las explicaciones en términos de homología simplicial.

Gracias!

Answer 1

Es una intersección de emparejamiento. Un triángulo y un segmento de línea en $3$-espacio dual si se intersecan en un punto. Asimismo, dos de los segmentos de línea en $2$-espacio dual si la intersección es un punto. En ambos casos un solo punto es dual a la $2$ o $3$ dimensiones simplex que la contiene (por lo general como baricentro).

Si crees que es definido por la tapa del producto con el ciclo de $[M]$, y luego a un simplex en decir $n$ dimensiones del espacio de tomar la geometría de su complemento, lo que significa, por ejemplo, si usted tiene un triángulo en el espacio de su complemento es el segmento de recta que pasa por el interior del triángulo, y a la inversa.

Este tipo de dualidad en la geometría euclidiana, donde un $k$ dimensiones subespacio está emparejado con un $n-k$ espacio que juntos el lapso $n$ espacio (ortogonales, si quieres) era conocido antes de Poincaré, y creo que fue una de sus motivaciones.