Hacer de fibra de functors han adjoints?

Question

Deje $X$ ser un buen conectados espacio topológico, y $x\in X$ un punto. Deje $F$ ser el functor de cubrir espacios de $X$ $\textbf{Sets}$dado por el envío de $Y\stackrel{f}{\rightarrow} X$ a la fibra,$f^{-1}(x)$.

¿Tiene esto que adjunto?

(Realmente no tiene ninguna buena razón para pensar que es posible, pero tengo curiosidad)

Si no, hay una buena razón por la que no?

EDIT: Lo que si me iban a restringir $F$ a lo finito cubriendo espacios / finito de conjuntos?

Answer 1

Asumiendo $X$ es bastante agradable que las habituales de la teoría de cubrir los espacios de las obras, $F$ tiene un adjunto a la izquierda y una derecha adjunto. Tenga en cuenta que la fibra de cubrir el espacio de más de $x$ no es sólo un conjunto, pero también tiene una acción del grupo de $G=\pi_1(X,x)$. Por otra parte, el functor de cubrir espacios de $X$ $G$- conjuntos de tomar una cubierta espacio a su fibra a $x$ es una equivalencia de categorías.

Pensando en cubrir los espacios, como acaba de $G$-establece, en su functor $F$ es sólo el olvido functor de $G$-a los conjuntos de conjuntos. La izquierda adjunto a continuación, es el functor la adopción de un conjunto $S$ a la libre $G$en $S$, que puede ser descrito explícitamente como $G\times S$ con la evidente acción. En términos de cobertura de los espacios, se trata de un conjunto de $S$ $U\times S$donde $U$ es la cobertura universal.

El olvidadizo functor también tiene derecho adjuntos, a saber, el functor la adopción de un conjunto $S$ para el conjunto de $S^G$ funciones $G\to S$, $G$ actuando por $(g\cdot f)(h)=f(hg)$ $f\in S^G$, $g,h\in G$. De hecho, si $A$$G$ -, entonces cualquier conjunto de mapa de $f:A\to S$ induce una $G$-mapa de $f_*:A\to S^G$$f_*(a)(g)=f(ga)$, y es fácil comprobar esto le da un bijection $\operatorname{Hom}_\mathbf{Sets}(A,S)\to\operatorname{Hom}_{G-\mathbf{Sets}}(A,S^G)$. Este derecho adjoint no es tan fácil de describir en términos de cubrir los espacios. Por ejemplo, si $X=S^1$, entonces este derecho adjoint envía un conjunto $S$ con dos elementos a cubrir el espacio cuya fibra es $S^\mathbb{Z}$, que es incalculable!