¿Cómo esta desigualdad se sigue de Hölder la desigualdad?

Question

En un artículo que estoy leyendo, la desigualdad y la justificación es Hölder de la desigualdad: $$\left(\sum_{i=1}^n a_{ii}\right)^m \le n^{m-1} \sum_{i=1}^n a_{ii}^m$$ donde $a_{ii}\ge0$ todos los $i$.

Sin embargo, no sé por qué la justificación de las obras. He tratado de justificar por escrito $a_{ii}$$a_{ii}\cdot1$, entonces la aplicación de la desigualdad. Llego un poco estrecha, ya que la $n$ elevado a una potencia que sale como un factor, pero por desgracia no estoy llegando a la desigualdad anterior.

Answer 1

Asumiendo $m > 1$ e las $a_{ii}$ son no negativos, el uso conjugado de los exponentes $m$ $m/(m-1)$ en Hölder la desigualdad para obtener

$$\sum_{i = 1}^n a_{ii} \le \left(\sum_{i = 1}^n 1^{m/(m-1)}\right)^{(m-1)/m} \left(\sum_{i = 1}^n a_{ii}^m\right)^{1/m} = n^{(m-1)/m}\left(\sum_{i = 1}^n a_{ii}^m\right)^{1/m}$$

La desigualdad se obtiene elevando al $m$th poder.

Answer 2

Del titular de la desigualdad en la forma discreta, es el siguiente.

Vamos $a_1$, $a_2$,...,$a_n$, $b_1$, $b_2$,...,$b_n$, $\alpha$ y $\beta$ ser positivos. Probar que: $$(a_1+a_2+...+a_n)^{\alpha}(b_1+b_2+...+b_n)^{\beta}\geq\left(\left(a_1^{\alpha}b_1^{\beta}\right)^{\frac{1}{\alpha+\beta}}+\left(a_2^{\alpha}b_2^{\beta}\right)^{\frac{1}{\alpha+\beta}}+...+\left(a_n^{\alpha}b_n^{\beta}\right)^{\frac{1}{\alpha+\beta}}\right)^{\alpha+\beta}$$

Es sólo la homogeneización de la desigualdad de Jensen para $f(x)=x^k$ donde $k>1$.

Ahora por el Titular de la se obtiene: $$n^{m-1}\sum\limits_{i=1}^na_{ii}^m=\left(\sum\limits_{i=1}^n1\right)^{m-1}\sum\limits_{i=1}^na_{ii}^m\geq\left(\sum\limits_{i=1}^n\left(1^{m-1}a_{ii}^m\right)^{\frac{1}{m}}\right)^m=\left(\sum\limits_{i=1}^na_{ii}\right)^m$$