¿Por qué se $p$-ádico números y $p$-ádico enteros sólo se define para $p$ prime?

Question

Tiene perfecto sentido hablar de una base $10$ dígitos de expansión. ¿Por qué no tendría sentido hablar de $10$-ádico números o $10$-ádico enteros?

Answer 1

Puede definir el $n$-ádico enteros, incluso si $n$ no es primo. Por ejemplo, todos los $10$-ádico entero tiene un $10$-ádico representación decimal, y usted puede agregar y llevar, como de costumbre.

Una cosa que me gusta de este sistema es una forma alternativa de escribir los números negativos en base 10. En lugar de tener que poner un signo negativo delante, tenemos $-1 = \ldots999$, $-2 = \ldots998$, y así sucesivamente. Aquí es un ejemplo de computación $37 - 50 = -23$ $10$- ádico números: \begin{align*} \ldots0000037& \\ +\quad \ldots 9999950 &\\ \hline = \quad\ldots 9999987&\\ \end{align*}

Y aquí es $37 \cdot -50 = -1850$: \begin{align*} \ldots0000037& \\ \cdot\quad \ldots 9999950 &\\ \hline = \quad \ldots 00000000 &\\ + \quad \ldots 0000185\phantom{0} &\\ + \quad \ldots 000333\phantom{00} &\\ + \quad \ldots 00333\phantom{000} &\\ + \quad \ldots 0333\phantom{0000} &\\ + \quad \ldots 333\phantom{00000} &\\ + \quad \phantom{00} \cdots \phantom{000000} &\\ \hline = \quad\ldots 99998150&\\ \end{align*}

Editar

La mayoría de las otras respuestas sugieren que la razón por la que no le gusta la $10$-ádico de los números, la razón por la que no se comportan bien es que tienen divisores de cero. Pero estamos perfectamente bien el trato con los anillos con divisores de cero como $\mathbb{Z} / 10\mathbb{Z}$. Así que permítanme elaborar sobre esto.

Una parte clave de cualquier buena introducción a $p$-ádico de los números es una discusión de sus propiedades topológicas, que provienen de la $p$-ádico valor absoluto. Por ejemplo, esta es la forma en que podemos obtener el $p$-ádico números como terminación de los números racionales $\mathbb{Q}$, con una distancia diferente métrica que el que da la $\mathbb{R}$.

El problema con divisores de cero en este contexto es que un anillo de valor absoluto puede ser definido cuando hay divisores de cero. Por qué? Porque realmente quiero que sea el caso de que $|xy| = |x| \cdot |y|$, por lo que si $x$ $y$ son divisores de cero, entonces a partir de la $|0| = 0$, $|x| = 0$ o $|y| = 0$. Si pensamos en el $10$-ádico enteros como el anillo de $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_{10}$, en esencia, esto nos obliga a dar la $\mathbb{Z}_2$ parte de todos los $10$-ádico entero cero norma, o para dar la $\mathbb{Z}_5$ parte de cada número entero cero norma. Por lo que el $10$-ádico los números no tienen una norma natural. Esta es, probablemente, una gran razón por la que no lo tenemos de estudio.

Answer 2

Yo estaba pasando demasiado grande, su longitud en un comentario a una discusión entre Henning Makholm y Hurkyl, así que permítanme ponerlo todo en una respuesta en su lugar:

Para mostrar que $\Bbb Z_{10}\cong\Bbb Z_2\times\Bbb Z_5$, usted necesita encontrar un par de ortogonal idempotents, llamarlos $E_2$ $E_5$ tal que $E_p^2=E_p$ $p=2$ y $5$, $E_2E_5=0$, y $E_2+E_5=1$.

Para ello, se encuentran en consonancia secuencias $\{e_{2,n}\}$, $\{e_{5,n}\}$ tal que \begin{align} e_{p,n}^2&\equiv e_{p,n}\pmod{10^n}\\ e_{2,n}e_{5,n}&\equiv0\pmod{10^n}\\ e_{2,n}+e_{5,n}&\equiv1\pmod{10^n}\,. \end{align} Y he aquí cómo hacerlo: Utilizar el Teorema del Resto Chino para obtener \begin{align} e_{2,n}&\equiv1\pmod{2^n},&e_{2,n}\equiv0\pmod{5^n}\\ e_{5,n}&\equiv0\pmod{2^n},&e_{5,n}\equiv1\pmod{5^n}. \end{align} Y que sería toda la historia, excepto que es más fácil calcular $E_2$ $E_5$ que para describir el proceso. Empezar con los números de la derecha del modulo $10$, es decir,$e_{2,1}=5$$e_{5,1}=6$. Elevar la primera de estas sucesivamente a $2$-poder de los poderes, la segunda sucesivamente a $5$-potencia poderes, y mira los últimos dígitos. Pero es incluso más fácil que eso, porque solo tiene que iniciar con $2$-los poderes de $5$ $e_{2,n}$'s, y restar de $1$ para los otros approximant.

Para empezar $5$, $25$, $625$, $390625\equiv0625$, etc., y llegar fácilmente a los diez dígitos con $8212890625\equiv E_2\pmod{10^{10}}$, y a partir de ese $E_5\equiv1787109376\pmod{10^{10}}$. Lo voy a dejar para el lector interesado en hacer las tres multiplicaciones que muestran que estos son de hecho ortogonal idempotents modulo $10^{10}$.

EDITAR - Addendum

user1952009 y Henning Makholm han preguntado qué bueno todo lo de arriba es. Es sólo que si usted tiene un $2$-ádico entero $S_2$ $5$- ádico entero $S_5$, luego de obtener un $10$-ádico entero correspondiente a $(S_2,S_5)$ de esta forma: aproximado $S_2$ por ordinario enteros $\{s_{2,n}\}$$S_5$$\{s_{5,n}\}$, a continuación, en cada etapa, hay que multiplicar el $2$-ádico approximants por $E_2$ e las $5$-ádico approximants por $E_5$. Usted obtener dos $10$-ádico enteros, y se agregan para obtener su $(S_2,S_5)$.

Por ejemplo, supongamos que usted desea algo en $\Bbb Z_{10}$ que es la $2$-ádico entero $\sqrt{-7}$ e las $5$-ádico entero $23/128$. Diez lugares, estas son las $b5;$ en notación hexadecimal para el $2$-ádico entero y $4201334331;$ $5$- ary notación para el elemento de la $\Bbb Z_5$. Como los enteros modulo $10^{10}$, estas son las $181$$8621216$, respectivamente. Ahora, $181$ es congruente a $\sqrt{-7}$ modulo $2^{10}$, pero es algo no deseado modulo $5^{10}$, por lo que se multiplican por $8212890625$, $1$ modulo $2^{10}$ cero y el modulo $5^{10}$. El resultado es bueno en $2$ y cero en $5$. Hacer la misma cosa para $8621216$,$\equiv23/128\pmod{5^{10}}$, pero algo inútil modulo $2^{10}$, Pero $8621216\cdot1787109376$ es bueno en $5$ y cero en $2$. Añadir estos dos productos modulo $10$, obtener $$181\cdot8212890625+8621216\cdot1787109376\equiv2479324341\pmod{10^{10}}\,.$$ Este es un número cuyo cuadrado $\equiv-7\pmod{2^{10}}$, y de tal manera que, cuando se multiplica por $128$, el resultado es $\equiv23\pmod{5^{10}}$, que es lo que me prometió.

EDITAR MÁS - en respuesta a Henning Makholm muy objeciones válidas.

Pido disculpas por el desorden lógico de todo esto. Hubiera sido mejor tirar todo mi publicación anterior y reemplazar con lo de abajo, pero eso habría invalidado todos los comentarios.

1. Una secuencia es $10$-adically convergente (resp. Cauchy) si y sólo si es $2$-adically y $5$-adically convergente (resp. Cauchy).
2. El idempotente $E_2$ se hizo a partir de la secuencia $\{5^{2^n}\}$ $2$- adically convergente a $1$ $5$- adically convergente a $0$. El ortogonal idempotente $E_5=1-E_2$ es similar hecha a partir de una secuencia $2$-adically convergente a $0$ $5$- adically convergente a $1$.
3. $\Bbb Z_2\cong\Bbb Z_{10}E_2$, debido a que para cada $\alpha\in\Bbb Z/2^n\Bbb Z$, $\alpha'\in\Bbb Z/{10}^n\Bbb Z$ tal que $\alpha\equiv\alpha'\pmod{2^n}$$\alpha'\equiv0\pmod{5^n}$, es decir,$\alpha'=5^{2^n}\alpha$. Del mismo modo, $\Bbb Z_5\cong\Bbb Z_{10}E_5$, debido a que para cada $\beta\in\Bbb Z/5^n\Bbb Z$,$\beta'\in\Bbb Z/10^n\Bbb Z$$\beta'\equiv\beta\pmod{5^n}$$\beta'\equiv0\pmod{2^n}$.
4. Hay un surjective anillo homomorphism $\Bbb Z_{10}\to\Bbb Z_2$,$w\mapsto wE_2$, igualmente para $w\mapsto wE_5$ dando un surjective homomorphism a $\Bbb Z_5$.
   Esto debería ser suficiente para mostrar que el $\Bbb Z_{10}\cong\Bbb Z_2\oplus\Bbb Z_5$. Pero Henning pregunta por qué no existe ningún otro descomposición. La respuesta tiene que ver con el hecho de que la única idempotents en $\Bbb Z_p$$0$$1$.
5. Deje $e$ ser cualquier idempotente en $\Bbb Z_{10}$. Yo digo que $e$ es $0$, $E_2$, $E_5$, o $1$. De hecho, $e=e\cdot1=e(E_2+E_5)=eE_2+eE_5$. Pero $eE_2$ es un idempotente en $\Bbb Z_{10}E_2\cong\Bbb Z_2$, lo $0$ o de la unidad, esto es $E_2$. Del mismo modo $eE_5$ es $0$ o $E_5$, y de estos cuatro casos de escape de los cuatro reclamados posibilidades para idempotents en $\Bbb Z_{10}$.

Answer 3

Usted puede hablar acerca de $10$-ádico números bien, pero ellos no se comportan tan bien como $p$-ádico números. Por ejemplo, el $10$-ádico enteros tiene divisores de cero, así que no importa la forma de completar o de masaje, después de esto, usted no será capaz de integrar en un campo.

Answer 4

Sí, pero el resultado no es tan agradable. Y tenemos $\mathbb{Z}_{10} = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_5$, por lo que podemos entender 10-ádico números por rompiéndolas en un $2$-ádico y un $5$-ádico pieza, cada uno de los que no se comportan bien.

Answer 5

Como se ha dicho en otras respuestas 10-ádico enteros tienen cero divisores. Para dibujar una prueba de ello, permítanme escribir $[m]_n$ para la clase de equivalencia de a $m$ modulo $n$, lo $\Bbb{Z}/n\Bbb{Z} = \{[0]_n, [1]_n, \ldots[n-1]_n\}$. A continuación, $[m]_{2^i5^i} \mapsto ([m]_{2^i}, [m]_{5^i})$ está bien definido y define un isomorfismo $\phi_i$ dicen que entre el anillo de $\Bbb{Z}/10^i\Bbb{Z}$ y el producto anillo de $(\Bbb{Z}/2^i\Bbb{Z}) \times (\Bbb{Z}/5^i\Bbb{Z})$. No hay un único par de clases de $x_i = [m_i]_{10^i}$$y_i = [n_i]_{10^i}$, de tal manera que $\phi_i(x_i) = (1, 0)$$\phi_i(y_i) = (0, 1)$. Por la singularidad $x_i = [m_{i+1}]_{10^i}$$y_i = [n_{i+1}]_{10^i}$. Así que usted puede el formulario 10-ádico enteros $M$ $N$ decir que para todos los $i$ $$M \equiv m_i \mod 10^i\\ N \equiv n_i \mod 10^i$$ y luego como $m_in_i \equiv 0 \mod 10^i$ todos los $i$, tendrás $MN = 0$ en el anillo de 10-ádico enteros.