$a^5+b^5+c^5+d^5=32$ si y sólo si uno de $a,b,c,d$ es $2$ y otros son cero.

Question

Dejemos que $a,b,c$ y $d$ sean números reales tales que $a^4+b^4+c^4+d^4=16$ . Entonces $a^5+b^5+c^5+d^5=32$ si y sólo si uno de $a,b,c,d$ es $2$ y otros son cero.

¿Por qué es así?

Answer 1

Tenemos $$a^4\le a^4+b^4+c^4+d^4=16\implies a\le 2$$ Así, podemos tener $a^4(a-2)\le 0$ es decir $$a^5\le 2a^4$$ De la misma manera, $$b^5\le 2b^4,\quad c^5\le 2c^4,\quad d^5\le 2d^4$$ dando $$a^5+b^5+c^5+d^5\le 2(a^4+b^4+c^4+d^4)=32$$ Tenga en cuenta que $$a^5+b^5+c^5+d^5=2(a^4+b^4+c^4+d^4)$$ se mantiene cuando $$a^4(a-2)=b^4(b-2)=c^4(c-2)=d^4(d-2)=0$$

Answer 2

Supongamos que $a,b,c,d\geq 0$ y establecer $x=a^4,\,y=b^4,\,z=c^4,\,w=d^4$ . Entonces $$f(x,y,z,w)=x^{5/4}+y^{5/4}+z^{5/4}+w^{5/4}$$ es estrictamente convexo y, por tanto, está restringido al dominio $$\{x,y,z,w\geq 0: x+y+z+w=16\}$$ alcanza el máximo sólo en los puntos extremos, que son los cuatro vértices $(16,0,0,0)$ y cíclicos.

Si un número es menor que cero que tomando los módulos el valor de $a^5+b^5+c^5+d^5$ aumenta estrictamente.

Answer 3

Obsérvese que (dividiendo las ecuaciones por $16$ y $32$ ) esto equivale a mostrar una de $a,b,c,d$ es $1$ y los otros son $0$ si $a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = 1$ y $a^5 + b^5 + c^5 + d^5 = 1$ . Si ninguno de $a,b,c,d$ son $1$ entonces todos deben tener un valor absoluto menor que uno (de lo contrario, la suma de sus cuartas potencias superaría $1$ ). Basta entonces con observar que

$a^5 + b^5 + c^5 + d^5 < a^4 + b^4 + c^4 +d^4 = 1,$

desde $a^5 < a^4, b^5 < b^4, c^5<c^4, d^5<d^4$ .

Por lo tanto, $a^5 + b^5 + c^5 + d^5 \neq 1$ y podemos deducir el resultado.

Answer 4

En primer lugar, ninguno de ellos puede estar en $]-\infty,-2[$ o en $]2,+\infty[$ De lo contrario, significaría $a^4+b^4+c^4+d^4 > 16$

Si algún número (digamos $a$ ) está en $]-2,0[\cup]0,2[$ . Entonces, como $a^4+b^4+c^4+d^4 = 16$ tenemos $|b|,|c|,|d|<2$ y $m=\max \{|a|,|b|,|c|,|d|\} < 2$ . Sin embargo, como $a^5+b^5+c^5+d^5\leq m(a^4+b^4+c^4+d^4) < 32$ Esto es imposible.

Así que todos ellos están en $\{2\} \cup\{-2\}$ y $m = 2$ .

Ninguno de estos números puede ser $-2$ porque significaría que los otros son nulos con $a^4+b^4+c^4+d^4 = 16$ .

Así que al menos uno de estos números es $2$ . El resto sigue.