Es la intersección de a $\sin(\mathbb{N})$ $\cos(\mathbb{N})$ vacío?

Question

Mi conjetura es que la intersección es vacía y esto es lo más lejos que me puse en un intento de demostrar esta contradicción:

$\exists n,m \in \mathbb{N}, \cos(n)=\sin(m) \land n \neq m \quad (1)$

$\cos^2(n)=1-\cos^2(m) \iff \cos^2(n)+\cos^2(m)=1 \quad (2)$

Estoy casi seguro de que la última ecuación no puede ser satisfecho, pero no estoy seguro de cómo proceder.

Answer 1

$$\cos x=\sin y\iff \cos x=\cos\left(\frac\pi2-y\right)\iff \frac\pi2-y=\pm x+2k\pi,\ k\in\Bbb Z$$

En particular, si $\cos x =\sin y$, entonces cualquiera de las $\dfrac{x+y}\pi$ o $\dfrac{y-x}\pi$ es en la forma $\dfrac{1+4k}{2}$ algunos $k\in\Bbb Z$.