$f(550)$ si $f(11)=1$ y $f(a)f(b)=f(a+b)+f(a-b)$

Question

$f:\Bbb Z\to\Bbb Z$ es tal que $f(11)=1$ y $f(a)f(b)=f(a+b)+f(a-b)$ para todos los enteros $a,b$ . ¿Qué es? $f(550)$ ?

Primero he puesto $f(11)f(0)=2f(11)$ , lo que da como resultado $f(0)=0,2$ . Sin embargo, sé que el 0 no va a funcionar porque era una pista. También he oído que había un patrón.

Se supone que la respuesta es $-1$ pero no sé cómo llegar allí.

Answer 1

Observe que

$$f(11n)f(11) = f(11(n +1)) + f(11(n-1))$$

y como $f(11) = 1$ ,

$$f(11n) = f(11(n+1)) + f(11(n-1))$$

Definir $a_n = f(11n)$ y podemos establecer una relación de recurrencia

$$a_n = a_{n+1} + a_{n-1}$$

o

$$a_{n+1} = a_n - a_{n-1}$$

que se resuelve periódicamente en

$$a_{n+3} = - a_n\implies a_{n+6} = a_n$$

Ahora bien, tenga en cuenta que

$$\begin{align}a_{50} &= a_{8\cdot6 + 2}\\&=a_2\end{align}$$

Entonces, $$f(11)f(11) = f(22) + f(0)$$ $$1 = f(22) +2$$ $$f(22) = -1$$ así que $$a_{50} = a_{2} = f(22) = -1$$

Answer 2

Comenzamos con $f(11n)f(11)=f(11(n+1))+f(11(n1))$ para cada número entero $n$ .

y como $f(11)=1$ ,

$f(11n)=f(11(n+1))+f(11(n1))$ . Sea $a_{n} = f(11n)$ y tenemos la siguiente relación:

$a_{n+1} = a_{n} - a_{n-1}$

De esto obtenemos $a_{n+6} = a_{n}$ .

Basándonos en esta última relación, podemos escribir $f(550)=a_{50} = a_{6.8+2} = a_{2} = f(22)$

Pero, $f(11)f(11) = f(22)+f(0)$ y entonces obtenemos $f(22) = 1 - 2 = -1$ .

Concluimos que $f(550) = -1$ . Como es debido.