En un juego de salón, el mago le pide a uno de los participantes a pensar en un número de tres dígitos (abc) donde a, b y c representan números en base 10, en el orden indicado. El mago le pide entonces a esta persona para formar los números $(acb)$, $(bca)$, $(bac)$, $(cab)$, y $(cba)$, para agregar estos cinco números, y para revelar su suma, $N$. Si se dijera que el valor de $N$, el mago puede identificar el número original, $(abc)$.
Esto es un extracto del 1986 AIME (problema 10), en el que $N = 3194$. Pero, ¿puede el mago adivina el número, para cualquier $N$? Cómo?
(Prefiero una respuesta que permite la $a = 0$, es decir, reemplazar "número de tres dígitos" con cualquier número entre el$0$$999$. Pero el problema como se ha dicho, con $a \ge 1$, está muy bien también.)
Una idea:
Podemos demostrar que el original número de 3 dígitos se determina el modulo $666$. Para ver esto, si $m = 100a + 10b + c$ es el número original, a continuación,$N = 222(a+b+c) - m$. Modulo $222$, esto nos da la $m \equiv -N$. Y el modulo $9$, $m \equiv a+b+c$, por lo tanto,$N \equiv 222m - m$, y resolviendo obtenemos $m \equiv 2N$. Desde $m$ se determina mod $9$ y mod $222$, se determina mod $\text{lcm}(9,222) = 666$. Específicamente, $m \equiv 443N \pmod{666}$.
Pero esto no resuelve el problema, porque $666 < 1000$.
Respuestas
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Con el valor calculado de $m\bmod666$ nos evaluar los posibles valores de $m=\overline{abc}$. Si sólo hay un número ( $m>333$ ), a continuación, hemos terminado. De lo contrario, habrá dos candidatos $m_1=m$ $m_2=m+666$ y podemos comprobar fácilmente para ver si producen $N$ exactamente.
$m_1$ $m_2$ debe producir diferentes valores de $N$. Para ver por qué, considere la adición $m_1+666$ y cuatro casos dependiendo de si hay un traspaso de las unidades y decenas. Para $N$ se mantendrá sin cambios debemos tener $222(\Delta a+\Delta b+\Delta c)-666=0$ o $S=\Delta a+\Delta b+\Delta c=3$.
- No llevar: $\Delta a=\Delta b=\Delta c=6$. $S=18$.
- Llevar a partir de unidades de lugar: $\Delta c=-4, \Delta b=7, \Delta a=6$. $S=9$.
- Llevan desde el lugar de las decenas: $\Delta c=6, \Delta b=-4, \Delta a=7$. $S=9$.
- Llevar de ambas unidades y decenas: $\Delta c=-4, \Delta b=-3, \Delta a=7$. $S=0$.
Desde $S$ no 3 en todos los casos, $N$ debe cambiar en ir de$m_1$$m_2$. Por lo tanto siempre vamos a tener un único valor correcto para $m$ a partir de $m_1$, $m_2$ y $N$.
$acb + bca + bac+cab + cba = 222(a+b+c) - abc$
Este número es único para $a,b,c$ porque:
Supongamos $222(a + b + c) - abc = 222(d+e+f) - def$ y wolog $abc \ge def$.
a continuación,$abc - def = 222([a+b+c] - [d+e+f])$. Como $abc - def < 1000$, $[a+b+c]-[d+e+f] = k$ donde $k = 0,1,2,3,4$.
$abc = 100a + 10b + c \equiv a + b + c \mod 9$
y
$def \equiv d+e+f \mod 9$
Por lo $222k = abc - def \equiv [a+b+c]-[d+e+f] = k \mod 9$.
Y, por tanto, $221k \equiv 0 \mod 9$
por lo $5k \equiv 0 \mod 9$.
De $k = 0,1,2,3,4$, $k = 0$ es la única posibilidad.
Por lo $k = (a+b+c) - (d+e+f) = 0$
y $abc - def = 222*0 =0$$abc - def$.
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Por lo que vale me di cuenta de cómo un mago puede hacer esto en su cabeza rápidamente.
El resultado de M. Recorrer y añadir los dígitos para obtener un solo dígito. El doble que e iterar hasta obtener un solo dígito $k$. Multiplicar por $2$ y, a continuación, por $111$ -- (si $2k = 1b$ esto es sólo $1.(b+1).(b+1).b$ - Fácil de hacer en tu cabeza) --- para conseguir la $J = 222k$.
Si $J < M$ agregar $1998$ (agregar $2000$ y restar $2$) hasta obtener un $J \ge M$.
A continuación, el número original es $J - M$.
Ejemplo: el Resultado es $3194$. Añadir los dígitos para obtener $8 \mod 9$. Doble para conseguir $16 \equiv 7 \mod 9$. Multiplicar por $2$ conseguir $14$ y múltiples por $111$ conseguir $1554$. Agregar $2000 - 2$ obtener $3552$. Restar $3194$ conseguir $358$ que es el número original.
