¿Cómo puedo definir exactamente qué es una función?

Question

Mientras que es fácil entender lo que una función es intuitivamente, he estado tratando de envolver mi cabeza alrededor de cómo definir con precisión qué función se utiliza sólo la notación matemática. Mi intento en esta se encuentra por debajo, pero aquí está mi entendimiento preliminar:

1. Una función puede tener múltiples entradas o parámetros, pero se genera una sola salida
2. Cada salida es única para los valores de entrada proporcionados.

Aquí está mi intento de definición:

Una relación $R \subset (D \times C)$ es una función si: $$ (\forall (d_1, c_1) \in R)(\forall (d_2, c_2) \in R)(d_1 = d_2 \rightarrow c_1 = c_2)$$

Esta definición debe abarcar todas las funciones, no sólo de funciones con una sola entrada, como $d_1$ $d_2$ n-tuplas que definen el n de entrada de una función, como cada elemento de a $R$ es en realidad un par ordenado $((x_1, x_2, ..., x_n),c)$

A qué se parece esto una correcta y precisa definición? O podría ser escrito mejor? No podía encontrar ninguna definición formal de una función en la web, incluso en la Wikipedia.

Por último, ¿es correcto decir que todas las funciones con n entradas (n+1)-ary relaciones? Desde $((x_1, x_2, ..., x_n),c)$ es lo mismo que $(x_1, x_2, ..., x_n,c)$.

Gracias.

Answer 1

5xum es correcto-su definición no es suficiente. Sin embargo, usted puede estar interesado en saber que su definición,

Una relación $R \subset (D \times C)$ es una función si: $$ (\forall (d_1, c_1) \in R)(\forall (d_2, c_2) \in R)(d_1 = d_2 \rightarrow c_1 = c_2)$$

es algo que nos importa en algunas ramas de las matemáticas! Esto se llama una función parcial $D \to C$.

Funciones parciales son especialmente utilizados en la teoría de funciones recursivas (o funciones computables a partir de $\mathbb{N}$$\mathbb{N}$).

Answer 2

La forma habitual para definir una función, estás en lo correcto, es por las relaciones. Sin embargo, su definición no es correcta, porque, por ejemplo, un vacío relación se ajusta a su definición.

La definición correcta debe decir algo como:

Una relación $R\subset A\times B$ es una función si cada elemento de a $a$ $A$ está contenida en exactamente una relación $(a,b)\in R$

En puros términos, podemos escribir esto como

$$\forall a\in A\exists! b\in B: (a,b)\in R$$

Donde el $\exists!$ cuantificador significa "existe precisamente uno". Una versión más larga (con sólo$\exists$$\forall$) sería

$$\forall a\in A \exists b\in B:((a,b)\in R\land \forall b'\in B:(a,b')\in R\implies b=b').$$

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Respuesta a tu otra pregunta acerca de las funciones en varias entradas:

No, las funciones son siempre binario relaciones. Una función de "múltiples (por ejemplo, $n$ entradas" es en realidad una función cuyo dominio es un producto cartesiano. Así, por ejemplo, una función de $n$ números reales es en realidad una función cuyo dominio es igual a $\mathbb R^3$.

Esto significa que, técnicamente, no deberíamos escribir $f(x,y)=xy$, por ejemplo. Se debe escribir el $f((x,y))=xy$, debido a $f$ sólo toma una entrada, y que de entrada es una tupla de dos números.