Puede que este "formal" a prueba de la irracionalidad de $\pi$ ser rigurosa?

Question

Supongamos que $\pi=\frac{p}{q}$ para los números naturales $p$$q$.

Deje $g_n(x)=\sin(x^n)$$n\in \mathbb{N}$. Se observa que todas las funciones de $g_n(x)$ desaparecen en $x=p$ $x^n=p^n=p^{n-1}q \pi$ todos los $n\in \mathbb{N}$ son múltiplos enteros de $\pi$.

Ahora consideramos $$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n\sin x^n=\sum_{n=1}^{\infty}a_n g_n(x)$$ where $a_n$ is the Dirichlet's inverse of $\frac{(-1)^{\frac{n-1}{2}}}{n!}1_A(n)$, $A$ is the set of odd numbers, and $1_A(n)$ is the indicator function of $A$. These specific $a_n$ are chosen so that "formally" when we expand $f(x)$ using Taylor series expansion of $\sin x^n$ we get $f(x)=x$.

Si sustituimos en $x=p$ $\sum_{n=1}^{\infty}a_n g_n(x)=x$ obtenemos el lado izquierdo para ser $0$ y el lado derecho es $p$, lo cual es una contradicción.

El problema con esta prueba con la suposición de $f(x)=x$, como se muestra simplemente que la expansión en series de Taylor para ser $x$ no hace $f(x)$ igual a $x$. Alguien puede hacer esta prueba rigurosa, mostrando que existe una combinación lineal de $g_n(x)$ que no se desvanecen en $x=p$?

Answer 1

Voy a mostrar $\sin(p) \neq 0$ $p$ entero, lo que demuestra $\pi$ es irracional como se ha descrito anteriormente. Para ello, voy a demostrar que $\sin(p)$ irracional, adaptar el método para mostrar $e$ irracional! Si usted no está familiarizado con ella, mira la transformada de Fourier de la prueba aquí https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_e_is_irrational.

Supongamos $\sin(p)=a/b$; a continuación, $\displaystyle \frac{(bp)!\sin(p)}{p^{pb}}$ es un número entero.

$\displaystyle \sin(p)=-\sum_{n=1}^\infty \frac{(-p)^{2n-1}}{(2n-1)!}$. Por lo tanto,

$\displaystyle \frac{(bp)!\sin(p)}{p^{pb}}=\mathrm{integer}-\sum_{n\geq bp, \ n\ \mathrm{odd}} \frac{(-p)^{n-bp}(bp)!}{n!}$.

Como en la prueba de $e$, la suma de los valores absolutos están delimitadas entre el $0$ y $1$, $0<\displaystyle \sum_{n\geq bp, \ n\ \mathrm{odd}} \frac{p^{n-bp}(bp)!}{n!}<1$.

Por otra parte, al ser esta una corriente alterna de la serie estrictamente decreciente términos de que es absolutamente convergente, podemos par de términos consecutivos hasta ver el resultado será estrictamente positivo o estrictamente negativo. Por lo tanto, si $x=\displaystyle \sum_{n\geq bp, \ n\ \mathrm{odd}} \frac{(-p)^{n-bp}(bp)!}{n!}$, debe tener $-1<x<0$ o $0<x<1$, una contradicción con nuestra hipótesis de que $\sin(p)$ es racional.

Por lo tanto $\sin(p)$ irracional y, en consecuencia, distinto de cero, demostrando nuestro reclamo.

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Anexo: para producir una contradicción como desee (una combinación lineal de $g_n$ que no se desvanecen en $x=p$), debemos equivalentemente, muestran que $\ \sin(p^n) \neq 0$ algunos $n$.

Pero desde $\cos(kp)=\pm 1$ (WLOG tome $\cos(p)=1$, duplicando $p$ y $q$), $\sin(p^2)=\sin(p^2-p+p)=\sin(p^2-p)\cos(p)+\sin(p)\cos(p^2-p)=\sin(p^2-p)+\sin(p)$,

así, la repetición de este,

$\sin(p^2)=p\sin(p)$

y

$\sin(p^n)=p^{n-1}\sin(p)$.

Así, equivalentemente, tenemos que probar que $\sin(p) \neq 0$ directamente por entero $p$ (divisible por $2$).