El hecho de que el uso de matrices para las fracciones de transformaciones lineales crea un grupo de acción (se vuelve de la multiplicación de la matriz en función de la composición) puede parecer inspiración divina si a espacios proyectivos no se mencionan para motivar a la situación.
Dado un espacio vectorial $V$, hay asociado un espacio proyectivo $\mathbb{P}^1(V)$ que reúne todas las "líneas", es decir, una dimensiones de los subespacios. Al $V=\mathbb{R}^n$ o $\mathbb{C}^n$ escribimos $\mathbb{RP}^{n-1}$ o $\mathbb{CP}^{n-1}$. En el caso de que $n=2$, tenemos un complejo proyectiva de la línea de $\mathbb{CP}^1$.
Podemos poner una relación de equivalencia en $\mathbb{C}^2\setminus0$, diciendo: $v\sim w$ siempre $v$ $w$ generar el mismo complejo de una dimensión del subespacio (es decir,$\mathbb{C}v=\mathbb{C}w$). Desde $(x,y)\sim\lambda(x,y)$ cualquier $\lambda\ne0$, podemos escala de cualquier vector a $(1,z)$ (si su $x$ coordinar era distinto de cero) o $(0,1)$ (si $x=0$). Por lo tanto, una manera de interpretar $\mathbb{CP}^1$ es la esfera de Riemann $\widehat{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup\{\infty\}$. Topológicamente, de hecho esta es una esfera, y es el punto de compactification del plano complejo $\mathbb{C}$. Para hablar de una forma más uniforme, podemos interpretar $(1,\infty)$ a ser el punto especial $(0,1)$.
Desde $\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})$'s de acción en $\mathbb{C}^2\setminus 0$ viajes con la multiplicación escalar, y el uno-dimensional subespacios (las relaciones de equivalencia de $\sim$) son precisamente las órbitas de $\mathbb{C}^\times$'s de acción, hay un inducida por la acción de $\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})$$\mathbb{CP}^1$. De hecho, si $(x,y)\sim(1,z)$ hemos
$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\cdot (x,y)=(ax+by,cx+dy)\sim\left(\frac{az+b}{cz+d},1\right) $$
Por lo tanto, el uso de $\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ como un conjunto de representantes para los elementos de $\mathbb{CP}^1$, la inducida por la acción de $\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})$ es lineal fraccional transformaciones.
La proyección estereográfica se crea un diffeomorphism $\widehat{\mathbb{C}}\simeq S^2\subset\mathbb{R}^3$. Explícitamente, creo que de $\mathbb{C}\times\mathbb{R}$ como espacio de tres $\mathbb{R}^3$. La línea a través del polo norte $(0,1)$ y un complejo número de $(z,0)$ es parametrizadas por $t(z,0)+(1-t)(0,1)=(tz,1-t)$. En orden para que un punto en la línea a en la unidad de la esfera centrada en el origen, se requieren $t^2|z|^2+(1-t)^2=1$ que después de algunos manipulación algebraica implica que $t=2/(|z|^2+1)$, y por lo tanto, el punto es
$$ z\mapsto \left(\frac{2z}{|z|^2+1},\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\right).$$
Esto crea un mapa de $\mathbb{C}\to S^2$. Podemos extender este a $\widehat{\mathbb{C}}$ si podemos definir a dónde enviar a $\infty$, lo que se puede hacer tomando el límite de $z\to\infty$, lo que da el polo norte $(0,1)$.
Por lo tanto, podemos transportar a la acción de la $\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})$ a $S^2$, pero no todas las de la matriz va a actuar en una forma que proviene de la rotación $S^2$ dentro $\mathbb{R}^3$. De hecho, lo hará precisamente cuando actúa por una isometría en la esfera de la $S^2$. (Rotaciones restringir a isometrías de curso, y es un ejercicio para demostrar isometrías provienen de transformaciones ortogonales, sino $\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})\to\mathrm{O}(3)$ debe aterrizar en el componente conectado a $\mathrm{SO}(3)$ desde $\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})$ está conectado.)
Más en Qiaochu la pregunta aquí doy una elemental explicación de por qué las matrices de $\mathrm{SU}(2)$ hecho inducir rotaciones en el espacio de $\mathbb{R}^3$ a través de la proyección estereográfica. Yo también hablar de cómo los tres estabilizador de subgrupos de $\mathrm{SU}(2)$ asociado a los puntos especiales $0,1,i$ corresponde a un parámetro subgrupos de ejes de coordenadas rotaciones en $\mathbb{R}^3$ (y también a las matrices de Pauli), lo que implica el mapa de $\mathrm{SU}(2)\to \mathrm{SO}(3)$ es surjective, y también mencionan que el kernel es $\{\pm I\}$.
En resumen, tener un mapa $F:\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})\to\mathrm{Diff}(S^2)$, lo que restringe a un mapa de $\mathrm{SU}(2)\to\mathrm{SO}(3)$ (tenga en cuenta que $\mathrm{SO}(3)$ puede ser identificado con un subgrupo de $\mathrm{Diff}(S^2)$ por el anterior comentario sobre las isometrías de $S^2$ correspondiente a las transformaciones de las $\mathbb{R}^3$).
Digamos que tenemos dos soluciones $\alpha,\beta$, por lo que a la corta secuencia exacta
$$ 1\to K\to G\to H\to 1. $$
Es decir, $\alpha,\beta:G\to H$ están en Mentir grupo homomorphisms con kernel $K$ (una Mentira subgrupo). A continuación, están relacionados por un automorphism $\gamma$$H$. En particular, considere la posibilidad de $\overline{\alpha},\overline{\beta}:G/K\to H$ (otorgada por el primer teorema de isomorfismo) y definir $\gamma=\overline{\beta}\circ\overline{\alpha}^{-1}$, por lo que el $\beta=\gamma\circ\alpha$.
En el caso de $H=\mathrm{SO}(3)$, cada automorphism $\gamma$ es interna, es decir, es la conjugación $\gamma_g(h)=ghg^{-1}$ para algunos rotación $g\in\mathrm{SO}(3)$. Para ver esto, observe que cualquier automorphism $\gamma$ $\mathrm{SO}(3)$ induce a uno de su mentira álgebra $\mathfrak{so}(3)\cong(\mathbb{R}^3,\times)$ que se debe a una rotación $g$ desde $\mathrm{SO}(3)$ es el grupo de simetría de las tres dimensiones de producto cruzado. Tenga en cuenta que $\mathfrak{so}(3)\cong(\mathbb{R}^3,\times)$ no es sólo un isomorfismo de álgebras de lie, pero también se $\mathrm{SO}(3)$-representaciones, por lo $\gamma$ $g$ está de acuerdo en que actúen en $\mathfrak{so}(3)$ (donde el medico adjunto acción se utiliza). A continuación, desde la matriz exponencial $\exp:\mathfrak{so}(3)\to\mathrm{SO}(3)$ es surjective (como $\mathrm{SO}(3)$ es compacto, pero puede ser demostrado como un elemental ejercicio), sus acciones pueden ser elevados a $\gamma$ y conjugateion-por -$g$$\mathrm{SO}(3)$, el cual debe estar de acuerdo también.
(Estoy seguro de que hay una manera mejor que esta, pero esto es lo que viene a la mente.)
Por el camino, otras matrices en $G=\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})$ puede ser interpretado como actuar en el $S^2\subset\mathbb{R}^3$ demasiado, pero necesitamos algo más de libertad. En particular, tenemos una Iwasawa descomposición $G=KAN$ con subgrupos $K=\mathrm{SU}(2)$, $A$ el real positivo diagonal de las matrices, y $N$ el unitriangular matrices complejas. Ya hemos visto la interpretación de $\mathrm{SU}(2)$ actuando, $A$ actúa en $\mathbb{C}$ a través de escalas / dilataciones / homotheties, que puede ser interpretado como la restricción de las correspondientes escalas de $\mathbb{R}^3$, y, finalmente, $N$ actúa en $\mathbb{C}$ por las traducciones, que puede ser interpretado como restricciones de planos traducciones actuando en $\mathbb{R}^3$ (recuerde que estamos identificando $\mathbb{R}^3$$\mathbb{C}\times\mathbb{R}$).
Este combo de rotaciones, traslaciones y cambios de escala es el menú completo de transformaciones visto en las Transformaciones de Möbius Reveló el video, en caso de que alguien se preguntó.
