Suponiendo que $M$ es derivable colector, esto puede ser demostrado por la elección de normal coordenadas sobre cualquier punto $P\in M$. La siguiente es la expansión en el método propuesto por Jason DeVito en los comentarios.
Poner una métrica en el colector, se puede definir la exponencial mapa de $\exp_P\colon T_PM\a M$ y, a continuación, la elección de una base ortonormales $e_1,\ldots,e_n$ para $T_PM$, obtenemos un mapa
$$
\begin{align}
f\colon\mathbb{R}^n&\a M,\\
(x^1,\ldots,x^n)&\mapsto\exp_P(x^ie_i)
\end{align}
$$
(mediante el convenio de sumación). Como el colector es compacta, esta es una en la asignación (sólo la integridad es necesaria). La idea, entonces, es que no es un círculo abierto subconjunto de $U\subseteq\mathbb{R}^n$ en que esto se convierte en una coordenada mapa con imagen densa. Que $U$ es un círculo (también conocido como balanced) significa que el segmento de la línea de unirse a cualquier punto de $x\in U$ a el origen está en $U$. Se puede observar que cualquier círculo conjunto abierto es diffeomorphic a $\mathbb{R}^n$ (véase también la estrella de dominio).
Vamos a $D$ el conjunto de $x\in\mathbb{R}^n$ que $[0,1]\a M$, $t\mapsto f(tx)$ es reducir a un mínimo la geodésica. Equivalentemente, $D$ es el conjunto de $x\in\mathbb{R}^n$ con $d(P,f(x))=\Vert x\Vert$, a partir de la cual podemos ver que es cerrado. También, vamos a $U$ ser el interior de $D$. El conjunto $\partial D\equiv D\setminus U$ se llama el corte de locus (más precisamente, el locus corte es el subconjunto de $T_PM$ correspondiente a $\parcial$D).
La fijación de unos $x\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$, consideremos la línea $t\mapsto f(tx)$ para $t\ge0$. Definir $r > 0$ a ser el máximo número real de $rx\D$. Para cualquier $0 < r_0 < r$, podemos mostrar la siguiente.
- En $[0,r_0]$, $t\mapsto f(tx)$ es la única minimizar geodésica de unirse a $P$ $f(r_0x)$.
- La derivada de $f$ en $r_0x$ es invertible, por lo que $f$ es nonsingular en $r_0x$.
- $r_0x$ en $U$.
- $f(D)=M$ y $f(\partial D)\subseteq M$ tiene medida cero.
La propiedad (3) implica que $U$ es un círculo, por lo que es diffeomorphic a $\mathbb{R}^n$. De la propiedad (1) se dice que $f$ es uno-a-uno en $U$ y, por (2), es un diffeomorphism. Entonces, por (4), $f(U)\supseteq M\setminus f(\partial D)$ es denso, por lo que $f$ da una diffeomorphism de $U$ a un subconjunto denso de $M$.
Te voy a dar pruebas de estas declaraciones ahora, a pesar de que parecen bastante estándar. Ver también estas notas y, en particular, Lema 5.3 para las pruebas de (1) y (2) y el Lema 5.4 para la prueba de (4).
La prueba de (1): Considerar la posibilidad de reducir a un mínimo la geodésica $\gamma\colon[0,r_0]\a M$ unirse a P $f(r_0x)$, que tendrá la longitud de no más de $r_0\Vert x\Vert$. Entonces, podemos extender $\gamma(t)$ $r_0\le t\le r$ por $\gamma(t)=f(tx)$. Como esta curva se une a $P$ $f(rx)$ y tiene una duración de no más de $r\Vert x\Vert$, debe ser una geodésica. Así, $\gamma(t)=f(tx)$ para todo $t\le r$ y $t\mapsto f(tx)$ es un único minimizar geodésica en $[0,r_0]$.
La prueba de (2): Seleccione un valor distinto de cero $y\in\mathbb{R}^n$ y considere el campo vectorial $t\mapsto Y_t$ dada por $Y_t=t\nabla_y f(tx)=\frac{\partial}{\partial s}f(t(x+sy))\vert_{s=0}$. Por geodésico de la desviación, esto es un campo de Jacobi. También, $Y_0=0$ para, si $\nabla_yf(tx) era$ cero, $P$ y $f(r_0x)$ sería conjugar los puntos a lo largo $t\mapsto f(tx)$. Entonces, es un resultado estándar que $t\mapsto f(tx)$ es no reducir a un mínimo la geodésica en $[0,r]$ para $r > r_0$ (véase la caracterización de la corte locus), contradiciendo la elección de $r$. Así, $\nabla_yf(r_0x)\no=0$ y $f$ es nonsingular en $r_0x$.
La prueba de (3): Si no, entonces no sería una secuencia de $x_i\no\D$ tendiendo a $r_0x$. Por la definición de $D$ existen $y_i\in\mathbb{R}^n$ $f(y_i)=f(x_i)$ y $\Vert y_i\Vert < \Vert x_i\Vert$. De pasar a la larga, podemos suponer que $y_i$ tiende a un límite de $y$. Así que, por la continuidad, $\Vert y\Vert\le r_0\Vert x\Vert$ y $f(y)=f(r_0x)$. Por (1), esto significa que $y=r_0x$. Pero, entonces, la configuración de $a_i=\Vert y_i-x_i\Vert$, (2) contradice el límite de $\nabla_{(y_i-x_i)/a_i}f(r_0x)\sim (f(y_i)-f(x_i))/a_i=0$.
La prueba de (4): Por la integridad, por cualquier $P\in M$, hay al menos una minimizando geodésica de unirse a $P$ a $P$. Así, $f(x)=Q$ $x\in D$ y $f(D)=M$. Siguiente, (3) implica que, para cualquier valor de $x\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$, la línea radial $t\mapsto tx$ ($t\ge0$) intersecta $\partial D$ en un solo punto. Esto significa que $\partial D$ tiene medida cero. Como $f$ es localmente Lipschitz, que se asigna a cero a medida que los conjuntos de medida cero conjuntos, por lo que $f(\partial D)$ tiene medida cero.
Por último, he de admitir que los detalles son un poco más difícil de lo que pensaba al principio, cuando me comentó que el método puede ser hecho para trabajar "sin demasiados problemas".
