Demostrar la existencia de un único punto fijo

Question

Deje $f(x)$ ser estrictamente una función decreciente en $\mathbb{R}$ $|f(x)-f(y)|<|x-y|$ siempre $x\neq y$. Set $x_{n+1}=f(x_n)$. Mostrar que la secuencia de $\{x_n\}$ converge a la raíz de $x=f(x)$.

Tenga en cuenta que la condición es más débil de lo que se requiere en la contratación de asignación de principio.

Answer 1

En primer lugar, te mostramos una imagen de lo que está pasando:

Formalmente, se comienza por la observación de que, debido a $f$ es estrictamente decreciente y continua, $f(x) = x$ debe tener una única solución. Llame a este punto fijo $r$; a continuación la definición de \begin{align*} A &= \{x \in \mathbb{R} : x < r \} \\ B &= \{r\} \\ C &= \{x \in \mathbb{R} : x > r \}. \end{align*} tenemos \begin{align*} f(x) &> x \text{ for all } x \in A \\ f(r) &= r \\ f(x) &< x \text{ for all } x \in C. \end{align*}

Podemos decir más:

• $\boldsymbol{f}$ mapas de $\boldsymbol{A}$ a $\boldsymbol{C}$ y viceversa: Para $a \in A$, $f(a) > a$, así que por la disminución de $f(f(a)) < f(a)$. Por lo $f(a) \in C$. Asimismo, para $C$.

• $\boldsymbol{f(f(x)) > x}$ $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{f(f(x)) < x}$ $\boldsymbol{C}$: Para $a \in A$, $|f(f(a)) - f(a)| < |f(a) - a|$. Por lo $f(f(a))$ está más cerca de a $f(a)$ $a$ es, y desde $a, f(f(a)) \in A$$f(a) \in C$, "más cerca de las $f(a)$" implica más grande.

Así que ahora a solucionar cualquier $x_1 \in \mathbb{R}$. Podemos suponer que la $x_1 \in A$. Por los hechos anteriores, de ello se desprende que $x_1, x_3, x_5, \ldots$ es un aumento de la secuencia en la $A$, e $x_2, x_4, x_6, \ldots$ es una disminución de la secuencia en $C$. De ello se desprende que ambos convergen, decir a $x$ $y$ respectivamente, donde $x \le r \le y$. Pero por la continuidad, $f(x_{2k})$ debe converger a la misma cosa como $x_{2k}$, lo $x = y = r$, y por lo tanto $x_n \to r$.

Answer 2

La singularidad. Si $x$ $y$ son distintos puntos fijos, a continuación,$0<|x-y|=|f(x)-f(y)|<|x-y|$. Contradicción.

Existencia. $|f(x)-f(y)|<|x-y|$ implica que el $f$ es continua. Si $f$ no ha de punto fijo, a continuación, i) $f(x)>x$ todos los $x$ o ii) $f(x)<x$ todos los $x$. Si yo) sostiene, a continuación, para $x_0\in \mathbb{R}$, $x_1=f(x_0)>x_0$ y desde $f$ es la disminución de la $x_2=f(x_1)<f(x_0)=x_1$. Por lo tanto, si $h(x)=f(x)-x$ tenemos que $h(x_0)>0$$h(x_1)<0$, y en el IVT, tenemos una raíz de $h(x)=0$, es decir, un punto fijo para $f$. El caso ii) es similar.

La convergencia de la iteración. Deje $z$ ser el punto fijo. Y deje $x_0\in\mathbb{R}$, luego $$|x_n-z|=|f(x_{n-1})-z|<|x_{n-1}-z|<\dots<|x_{0}-z|$$ lo que significa que $f$ enviar el compacto $K=[z-|z-x_0|,z+|z-x_0|]$ en sí mismo. Por otra parte $d_n=|x_n-z|$ es estrictamente decreciente, y admite un límite de $r\geq 0$. Deje $x_{n_k}$ ser un subsequence que converge a algunos $y\in K$. Si $y\not=z$ $$r=|y-z|=\lim_{k\to\infty} d_{n_k}=\lim_{k\to\infty} d_{n_{k}+1}=\lim_{k\to\infty}|f(x_{n_k})-z| =|f(y)-z|=|f(y)-f(z)|<|y-z|$$ lo cual es una contradicción. Por lo tanto, cualquier convergente larga de $\{x_n\}_n$ limit $z$, lo que, junto con la compacidad de $K$, implica que el $\{x_n\}_n$ converge a $z$.

P. S. una Vez que hemos establecido la existencia de un punto fijo de la disminución de la hipótesis ya no es necesaria.

Nota:$f(x)=x-\arctan(x)+\pi/2$ es estrictamente una función creciente que es una débil contracción en $\mathbb{R}$, pero no tiene puntos fijos.