Suma de los dígitos de $(999...9)^{3} = 18n$

Question

Alguien había publicado una pregunta en este sitio en cuanto a lo que sería la suma de los dígitos de $(999999999999)^3$ (doce $9$s) igual a? Hice algunos cálculos y encontrar el patrón que la suma de los dígitos de $9^3 = 18$, $99^3 = 36$, $999^3 = 54$ y lo que me respondieron que la suma de los dígitos de $999999999999^3 = 12 \cdot 18 = 216$. ¿Alguien puede ayudarme a probar esta, que la suma de los dígitos de $(\underbrace{999\dots9}_{n\text{ times}})^3 = 18n.$

Answer 1

Observar que:

$\left(\underbrace{9\dots9}_{n\text{ times}}\right)^3=(10^n-1)^3=10^{3n}-3\cdot10^{2n}+3\cdot10^{n}-1=\underbrace{9\dots9}_{n-1\text{ times}}7\underbrace{0\dots0}_{n-1\text{ times}}2\underbrace{9\dots9}_{n\text{ times}}$

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Por lo tanto, la suma de los dígitos es $9(n-1)+7+2+9n=18n$.

Answer 2

Bueno, todo lo que tienes que hacer es observar el patrón de los propios cubos:

$9^3 = 729$.

$99^3=970299$

$999^3=997002999$

$9999^3=999700029999$

Ahora, usted está en una posición para hacer una conjetura:

Deje $(k)_n$ significa que el número en base $10$ representado por $k$ repitió $n$ veces. A continuación, $((9)_n)^3 = (9)_{n-1}7(0)_{n-1}2(9)_n$.

Quiero que salir y demostrar esta conjetura usted mismo, utilice el hecho de que $(9)_n = 10^{n}-1$, e $(10^{n} -1 )^3 = 10^{3n} - 3\cdot 10^{2n} + 3 \cdot 10^n - 1$.

Ahora, utilice el hecho de que la suma de los dígitos de $(k)_n$$nk$. Poner esta fórmula anterior, la suma de los dígitos de $((9)_n)^3$$9(n-1) + 7 + 2 + 9(n) = 18n$. Por lo tanto, para $12$ dígitos, su fórmula se obtiene una suma de $216$, lo cual es correcto.

Answer 3

Con $n\geq 1$:

$(10^n-1)^3=10^{3n}-3\cdot 10^{2n}+3\cdot 10^n -1$ $=(10^{n-1}-1)10^{2n+1}+7\cdot 10^{2n}+2\cdot 10^n+10^n-1$.

Por lo tanto,$9(n-1)+7+2+9n=18n$.