Los números de $p-\sqrt{q}$ tener ordinario egipcio fracción expansiones?

Question

Os recuerdo que el algoritmo voraz para el egipcio fracción de expansión para un número positivo $x_0 <1$ va como esto:

$$x_0=\frac{1}{a_0}+\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\dots$$

$a_n$ son enteros positivos y se definen:

$$x_n-\frac{1}{a_n}>0$$

$$x_n-\frac{1}{a_n-1}<0$$

Y $x_n$ se define:

$$x_{n+1}=x_n-\frac{1}{a_n}$$

Esta expansión puede rivalizar con la simple fracciones continuas en su importancia para la teoría de los números. Es único para cada número y la terminación de los si y sólo si $x_0$ es racional.

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Pensé que casi no regular GA EF expansiones 'simple' irrationals eran conocidos.

El único ejemplo que yo sabía de esta respuesta fue:

$$\frac{3-\sqrt{5}}{2}=2-\phi=\frac{1}{3}+\frac{1}{21}+\frac{1}{987}+\dots$$

Cuando los denominadores son $2^n$th números de Fibonacci.

Pero resulta que muchos de los números de la forma $p-\sqrt{q}$ traté de han GA EF expansión con un patrón regular, descrito por $2^n$th términos de una progresión lineal de segundo orden de recurrencia.

Voy a resumir los siguientes ejemplos:

$$3-2 \sqrt{2}=\frac{1}{6}+\frac{1}{204}+\frac{1}{235416}+\dots$$

Denominadores son $2^n$th términos de la recurrencia $A_n=34A_{n-1}-A_{n-2},~A_0=0,~A_1=6$. http://oeis.org/A082405

$$4-2 \sqrt{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{28}+\frac{1}{5432}+\dots$$

Denominadores son $2^n$th términos de la recurrencia $A_n=14A_{n-1}-A_{n-2},~A_0=0,~A_1=2$. http://oeis.org/A011944

$$3-\sqrt{7}=\frac{1}{3}+\frac{1}{48}+\frac{1}{12192}+\dots$$

Denominadores son $2^n$th términos de la recurrencia $A_n=16A_{n-1}-A_{n-2},~A_0=0,~A_1=3$. http://oeis.org/A001080

$$4-\frac{1}{3}-\sqrt{11}=\frac{1}{3}+\frac{1}{60}+\frac{1}{23880}+\dots$$

Denominadores son $2^n$th términos de la recurrencia $A_n=20A_{n-1}-A_{n-2},~A_0=0,~A_1=3$. http://oeis.org/A001084

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Hay un patrón general aquí? Cómo probar estas conjeturas?

Sé que existe una profunda conexión entre la recurrencia de este tipo y raíces cuadradas (es decir, los números de Fibonacci y la Proporción áurea), pero yo no sé cuál es la conexión real en este caso.

Answer 1

Supongamos $u>1$. A continuación, los números de $c_n := u^n - u^{-n}$ satisfacer la recurrencia lineal $$ c_{n+1} - (u+u^{-1}) c_n + c_{n-1} = 0. $$ Por otra parte, $$ \frac1{c_n} = \frac{u^n}{u^{2n}-1} = \frac1{u^n-1} - \frac1{u^{2n}-1}. $$ Por lo tanto la suma de los recíprocos de los $2^m$-th términos pueden ser evaluted como una suma telescópica: $$ \sum_{m=1}^\infty \frac1{c_{2^m}} = \sum_{m=1}^\infty \frac1{u^{2^m}-1} - \frac1{u^{2^{m+1}}-1} = \frac1{u^2-1}. $$ Ahora supongamos $u+u^{-1} = k > 2$. A continuación,$c_1^2 + 4 = k^2$, por lo que $c_1 = \sqrt{k^2-4}$, y el $a_n := c_n / c_1$ son polinomios en $k$: $$ (a_1, a_2, a_3, a_4, \ldots) = (1, k, k^2-1, k^3-2k, \ldots) $$ y tenemos $$ \sum_{m=1}^\infty \frac1{a_{2^m}} = \sqrt{k^2-4} \sum_{m=0}^\infty \frac1{c_{2^m}} = \frac{\sqrt{k^2-4}}{u^2-1} = \frac{k-\sqrt{k^2-4}}{2}. $$ Esto representa para todos tus ejemplos:

$k=3$ da la suma de Fibonacci;

$k=4$ da la expansión de $2-\sqrt{3}$ multiplicado por el $2$;

$k=6$ da la expansión de $3-2\sqrt{2}$;

$k=16$ da una expansión de la $8-3\sqrt{7}$, a partir de la cual la expansión de $3-\sqrt{7}$ sigue añadiendo $1$ y dividiendo por $3$; y

$k=20$ da una expansión de la $10 - 3\sqrt{11}$, a partir de la cual el la expansión de $4 - \frac13 - \sqrt{11}$ sigue volvieron a sumar $1$ y dividiendo por $3$.