¿Se aplica la topología a los enteros?

Question

¿Cuál es la topología natural (o topologías) en los enteros? ¿Podemos definir una métrica en los enteros?

Answer 1

"Los enteros" hace referencia no solo a un conjunto, sino a todo un conjunto de otras nociones, como las operaciones habituales de suma y multiplicación.

Entre estas nociones, de hecho, hay una topología. La topología habitual en los enteros es la topología discreta - aquella donde cada subconjunto es un conjunto abierto.

Una cosa que necesita ser interiorizada es que, tomada literalmente, la pregunta "¿Es $S$ un conjunto abierto?" es un completo absurdo. Las preguntas significativas son de la forma "¿Es $S$ un conjunto abierto en la topología $T$?"; solo que normalmente no mencionamos $T$ cuando puede entenderse por contexto.

De todas maneras, una manera de explicar por qué la topología habitual en los enteros es la topología discreta es porque es la topología del subespacio relativo a la topología habitual en los números reales. Es decir (suponiendo que $\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{R}$),

$U \subseteq \mathbb{Z}$ es un conjunto abierto${}^1$ si y solo si existe un conjunto abierto${}^2$ $U' \subseteq \mathbb{R}$ tal que $U = U' \cap \mathbb{Z}$.

_{1: en la topología habitual de los enteros}

_{2: en la topología habitual de los números reales}

Dado que la topología habitual en $\mathbb{R}$ se puede describir en términos de una métrica, por ejemplo $d(x,y) = |x-y|$, la topología habitual en $\mathbb{Z}$ está dada por la misma métrica. Pero hay que tener en cuenta que para cualquier punto $P$, la bola abierta de radio $1/2$ alrededor de $P$ es simplemente el conjunto $\{ P \}$, y consecuentemente $\{P \}$ es un conjunto abierto.

Como indican las otras respuestas y comentarios, hay otras topologías que son útiles para poner en los números naturales.

Answer 2

Está claro que si se mira la topología en $\Bbb Z$ inducida por la métrica natural (euclidiana) en la recta real se obtiene la topología discreta: cada subconjunto es abierto. Esto no es muy emocionante.

Pero no es obligatorio: se pueden definir otras topologías que resultan ser más interesantes y útiles.

Una métrica importante que se puede definir en $\Bbb Z$ (en realidad en $\Bbb Q$) es la métrica $p$-ádica que requiere fijar un número primo $p$ de antemano y cuya idea básica es que los números que son altamente divisibles por $p$ son "pequeños", es decir, cercanos a $0$. Hay una vasta literatura sobre los números $p$-ádicos, que es lo que se obtiene completando $\Bbb Q$ bajo la métrica $p$-ádica, de manera bastante similar a como se puede construir $\Bbb R$ como la completación de $\Bbb Q$ bajo la métrica euclidiana.

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Como otro ejemplo se puede considerar la topología en $\Bbb Z$ cuyos conjuntos cerrados son aquellos generados por las progresiones aritméticas que contienen el $0$.

Luego se puede utilizar esta topología de la siguiente manera: considerar la unión de todos los conjuntos cerrados no triviales. Es fácil comprobar que esta unión es $$ \bigcup_{p\ \text{primo}}\{...,-2p,-p,0,p,2p,...\}= \Bbb Z\setminus\{1,-1\}. $$ Dado que es el conjunto complementario de un subconjunto finito no puede ser cerrado (todos los conjuntos abiertos básicos son infinitos para esta topología). Por lo tanto, la unión no puede ser una unión finita. Así que hemos demostrado que $$ \text{hay infinitos números primos.} $$

Answer 3

Creo que estás confiando demasiado en la interpretación geométrica de un conjunto abierto en el caso de $\mathbb{R}^n$. Deberías pensar en el hecho de que los conjuntos abiertos en $\mathbb{R}^n$ se derivan completamente de la métrica en el espacio. Recuerda que un espacio topológico $(X, \tau)$ es simplemente un conjunto $X$ emparejado con subcolecciones de $X$ que cumplen con algunos axiomas. Si deseas colocar una topología en $\mathbb{Z}$, considera la más trivial, es decir, la topología discreta es decir $\{i\} \in \tau$ es decir, abierto para todo $i \in \mathbb{Z}$.

Answer 4

Sí, ciertamente hay topologías en los enteros $\mathbb{Z}$ o en los enteros no negativos $\mathbb{N}$. Por ejemplo:

La topología del orden

$\mathbb{Z}$ tiene un orden $<$, por lo que podemos definir la topología del orden para él. En cierto sentido, es la topología "estándar" en $\mathbb{Z}$. Por ejemplo, el mismo uso del orden te dará la topología en $\mathbb{Z}$ o en $\mathbb{R}$.

Esto es también lo que obtienes si consideras $\mathbb{Z}$ como un espacio métrico de la manera canónica: la distancia de $a$ a $b$ es $|a-b|$.

Desafortunadamente, esta es solo la topología discreta -- cada subconjunto de $\mathbb{Z}$ es abierto. En este sentido, $\mathbb{Z}$ no es muy interesante.

La topología co-finita

Otro ejemplo es la topología co-finita, que se puede definir en cualquier conjunto pero de la cual los números naturales son un ejemplo común. La definimos de manera que los conjuntos cerrados sean todos conjuntos finitos, así como $\mathbb{Z}$ (por lo que los conjuntos abiertos son $\varnothing$ y conjuntos "cofinitos", o complementos de conjuntos finitos.) En este caso: obtenemos un espacio compacto y $T_1$, pero no Hausdorff.

Answer 5

Mientras una función $d:\Bbb N\times\Bbb N\to [0,+\infty)$ cumple con la definición de una métrica, la estructura $(\Bbb N,d)$ se convierte en un espacio métrico con todas las nociones que siguen: topología inducida, conjuntos abiertos, puntos de acumulación, etc.

Como ejemplo, puedes tomar la métrica usual $d(x,y)=|x-y|$. Otro ejemplo $d(x,y) = |\arctan x - \arctan y|$.