Suma de dígitos de $9^n$

Question

Deje $n>2$ ser un número entero. Demostrar que la suma de dígitos de $9^n$ es mayor que $9$.

Empezaba mi enfoque fue observar que $9^n$ termina en $1$ o $9$. Si termina en $9$, entonces el resultado es obvio. Si termina en $1$, no estoy seguro de qué hacer.

Answer 1

Parece que esto puede ser demostrado por la generalización en el argumento de la pregunta y de la comprobación de un montón de casos. Supongamos por contradicción que la suma de dígitos de $9^n$$9$. A continuación, cualquiera de $9^n < 100000$ o a las siguientes tres propiedades.

• La suma de dígitos de $9^n \% 100000$ es de menos de 9
• La suma de dígitos de $9^n \% 99999$ es exactamente 9
• El último dígito de la $9^n \% 99999$ no es cero

donde $9^n\%d$ significa que al menos no negativo residuo de $9^n$ modulo $d$.

Este código de Python comprueba $n \leq 7501$, después de que los pares de $(n\%100000, n\%99999)$ inicio repetir con período de 7500. Esto demuestra que no hay $n$ para que las tres propiedades de todos los titulares.