¿Cuál es la diferencia entre la serie de Fourier y la transformación de Fourier?

Question

¿Cuál es la diferencia entre las transformadas de Fourier y las series de Fourier?

¿Son lo mismo, donde una transformada se usa solo cuando se aplica (es decir, no se usa en matemáticas puras)?

Answer 1

La serie de Fourier se utiliza para representar una función periódica mediante una suma discreta de exponenciales complejas, mientras que la transformada de Fourier se utiliza para representar una función general, no periódica, mediante una superposición continua o integral de exponenciales complejas. La transformada de Fourier se puede ver como el límite de la serie de Fourier de una función cuyo período tiende a infinito, por lo que los límites de integración cambian de un período a $(-\infty,\infty)$.

En un enfoque clásico no sería posible utilizar la transformada de Fourier para una función periódica que no pertenezca a $\mathbb{L}_1(-\infty,\infty)$. El uso de funciones generalizadas, sin embargo, nos libera de esa restricción y nos permite analizar la transformada de Fourier de una función periódica. Se puede demostrar que los coeficientes de la serie de Fourier de una función periódica son valores muestreados de la transformada de Fourier de un período de la función.

Answer 2

La transformada de Fourier y la serie de Fourier son dos manifestaciones de una idea similar, a saber, escribir funciones generales como "superposiciones" (ya sea integrales o sumas) de alguna clase especial de funciones. Los exponenciales $x\rightarrow e^{itx}$ (o, equivalentemente, expresando lo mismo en senos y cosenos a través de la identidad de Euler $e^{iy}=\cos y+i\sin y$) tienen la virtud de ser autofunciones para la diferenciación, es decir, la diferenciación solo las multiplica: ${d\over dx}e^{itx}=it\cdot e^{itx}$. Esto hace que los exponenciales sean muy convenientes para resolver ecuaciones diferenciales, por ejemplo.

Una función periódica puede ser expresada de manera demostrable como una superposición "discreta" de exponenciales, es decir, una suma. Una función no periódica, pero decadente, no admite una expresión como superposición discreta de exponenciales, sino solo una superposición continua, es decir, la integral que aparece en la inversión de Fourier para las transformadas de Fourier.

En ambos casos, hay varios puntos técnicos que deben abordarse, algo diferentes en las dos situaciones, pero los problemas son muy similares en espíritu.

Answer 3

La transformada de Fourier se utiliza para transformar señales periódicas y no periódicas del dominio de tiempo al dominio de frecuencia. También puede transformar una serie de Fourier en el dominio de frecuencia, ya que la serie de Fourier no es más que una forma simplificada de una función periódica en el dominio del tiempo.

Serie de Fourier

1. Función periódica => se convierte en una función exponencial discreta o seno y coseno.

2. Función no periódica => no aplica

Transformada de Fourier

1. Función periódica => convierte su serie de Fourier en el dominio de frecuencia.

2. Función no periódica => la convierte en un dominio de frecuencia continuo.

Answer 4

Si tienes un grupo abeliano localmente compacto $G$ puedes definir un grupo llamado el grupo dual de Pontryagin - $\widehat{G}$. Puedes definir una medida de Haar en $G$, $\mu$. Podemos definir la transformada de Fourier de una función $f\in L^1(G)$:

$$\widehat f(\chi)=\int_Gf(x)\overline{\chi(x)}d\mu(x)$$

$\widehat f(\chi)$ es una función continua acotada que se anula en el infinito en $\widehat{G}$.

Si $G=\Bbb R$ entonces $\widehat{G}=\Bbb R$ y tenemos la transformada de Fourier regular.

Si $G=S^1$ entonces $\widehat{G}=\Bbb Z$ y tenemos la serie de Fourier (un ejemplo de una transformada de Fourier).

Answer 5

Veo que probablemente estás preguntando acerca de los dos más "significativos" que aparentemente son diferentes, pero aún comparables si los comparas uno a uno y estos son la transformada de Fourier de una señal discreta en el tiempo y la serie de Fourier de una señal discreta en el tiempo, mientras que ambas señales son periódicas.

Te lo explicaré de la manera más simple posible.

Imagina que tienes un dibujo en un mapa (no imagines un mapa de n dimensiones, pero podría ser). Ambos representan un punto en este dibujo en este mapa. (El mapa es un mapa del globo, no vayas demasiado lejos). Ahora es simple, cada representación resuelve un problema diferente, pero ambos representan el mismo punto. Solo que una representación representa un punto como un punto como lo conocemos (serie, con e e i o j y w0) y una representación (la que tiene los deltas) representa el mismo punto como + <0, delta(y)>. Conocemos la primera representación. No la explicaré. Pero en la segunda representación si sumamos todas las e-s con i-s o j-s, ¿qué obtenemos? Una superposición. Significa que conoceremos la superposición final, pero no sabremos cuál es la proyección. No sabremos qué es x, y porque en la señal x, y no son triviales de ver como un punto en el mapa mientras están en superposición, por lo que necesitamos un sistema de coordenadas en su lugar. La Transformada de Fourier nos muestra el mismo punto, pero como en el mapa, con coordenadas. Así vemos los coeficientes. Y vemos los coeficientes gracias a los deltas. De lo contrario, tendríamos una suma de e's que a veces es "sumable" y para encontrar cada coeficiente tendríamos que proyectar y calcular la proyección para cada coeficiente. Aquí VEMOS los coeficientes SIN calcular cada uno de ellos gracias a los deltas.

Todo esto se debe a que el producto interno en la dimensión de las señales es "menos directo" que el producto interno en un mapa del mundo. Pero aún así es directo para una computadora si lo haces repetidamente e ineficientemente. :)

Eso es todo, espero que ayude.