Restricción de una secuencia densa en un espacio de productos, un factor a la vez

Question

Eslogan: Dada una secuencia en $X\times Y$ ¿podemos elegir sucesiones para fijar el límite en $X$ mientras se deja el comportamiento en $Y$ ¿Gratis?

Detalles: Supongamos que $X$ y $Y$ son espacios topológicos y $(x_n,y_n)_n$ es una secuencia que es "densa en límites" en $X\times Y$ lo que significa que para cada punto $(x,y)\in X\times Y$ hay una subsecuencia $(x_m,y_m)_m$ que converge a $(x,y)$ .

¿Implica eso lo siguiente? Para cada punto $x\in X$ hay una subsecuencia $(x_m,y_m)_m$ tal que $(x_m)_m$ converge a $x$ y $(y_m)_m$ es denso como límite en $Y$ ?

La respuesta es "sí" si $X$ es contable en primer lugar y $Y$ es contable en segundo lugar. Esos axiomas nos dan los rectángulos abiertos que necesitamos que alcance la subsecuencia. Pero, ¿son necesarias esas suposiciones adicionales?

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Editado:

Aquí hay una prueba de la afirmación anterior. Supongamos que $X$ es contable en primer lugar y $Y$ es contable en segundo lugar. Sea $U_1\supset U_2\supset\cdots\ni x$ sea una base local contable descendente en $x$ y que $V_i$ sea una base contable en $Y$ . Definir una secuencia de rectángulos de destino $(T_n)_n$ para ser $(U_1\times V_1, U_2\times V_1, U_2\times V_2, U_3\times V_1, U_3\times V_2, U_3\times V_3, \ldots)$ . Ahora se define recursivamente la subsecuencia $n_k$ por $n_0=0$ y para $k\geq 1$ , $n_k$ es el primer valor mayor que $n_{k-1}$ tal que $(x_{n_k}, y_{n_k})\in T_k$ . Entonces $x_{n_k}\to x$ . Y para cualquier $y\in Y$ podemos encontrar una secuencia de $V$ s que son una base local contable descendente alrededor de $y$ y luego otra sucesión de $y_{n_k}$ que se mantiene dentro de esa base.

Para el contexto, estoy trabajando en una aplicación donde $X$ y $Y$ son espacios realmente agradables, variedades compactas, por lo que la afirmación es bastante obvia: Para nuestros rectángulos objetivo, podemos cubrir $\{x\}\times Y$ avec $1/n$ -bolas. Tengo curiosidad por saber hasta dónde podemos llevar el principio para espacios más generales.

Answer 1

Con una construcción diagonal, podemos bajar la barra a

$X$ y $Y$ de primera cuenta

Dejemos que $x\in X$ se le dé y $U_0\supset U_1\supset U_2\supset\ldots \ni x$ una base local contable desceinding en $x$ . Para cada $m\in\Bbb N$ , elija una subsecuencia $(x_{s_m(n)},y_{s_m(n)})$ avec $(x_{s_m(n)},y_{s_m(n)})\to (x,y_m)$ . Sea $f(n)=n\bmod\lfloor\sqrt n\rfloor$ (o cualquier otra función $\Bbb N\to\Bbb N$ tal que $\forall n\in\Bbb N\colon |f^{-1}(n)|=\infty$ ). Como $\lim_{k\to\infty}s_{f(n)}(k)= \infty$ y $\lim_{k\to\infty}x_{s_{f(n)}(k)}= x$ podemos definir $s(n)$ recursivamente como $s(n)=s_{f(n)}(k)$ , donde $k=k(n)$ es mínimo con $x_{s_{f(n)}(k)}\in U_n$ y $s_{f(n)}(k)>s(j)$ para todos $j<n$ . Por la elección anterior, claramente $x_{s(n)}\to x$ . Además, para cada $m\in\Bbb N$ hay una sucesión de $\{y_{s(n)}\}_n$ que converge a $y_m$ .

Ahora dejemos que $y\in Y$ y $V_0\supset V_1\supset V_2\supset\ldots \ni y$ una base local contable descendente en $y$ . Como existe una subsecuencia de la secuencia original que converge a $(x,y)$ Cada uno de ellos $V_n$ contiene algunos $y_m$ y como subsecuencia de nuestra subsecuencia construida $\{y_{s(k)}\}_k$ converge a $y_m$ hay infinitas $k$ avec $y_{s(k)}\in V_n$ . Esto nos permite elegir una (sub)subsecuencia $\{y_{s(t(n))}\}_n$ tal que $y_{s(t(n))}\in V_n$ y en consecuencia $y_{s(t(n))}\to y$ .