Supongamos $M$ $m \times n$ matriz tal que todas las filas y columnas de $M$ total $1$. Mostrar que $m=n$

Question

Esto me parece más bien una pregunta incómoda, y me fue dada una sugerencia: el uso de invariantes, que me pareció aún más torpe.

Supongamos $M$ $m \times n$ matriz tal que todas las filas y columnas de $M$ total $1$. Mostrar que $m=n$.

No tengo ni idea de cómo este es un problema en los invariantes, por no hablar de cómo resolver este problema. Necesito consejos sobre por qué este es el caso.

Answer 1

Si $M$ $m$ filas que se suma a $1$, la suma de la matriz es $m$.

Si $M$ $n$ columnas que se suma a $1$, la suma de la matriz es $n$.

La suma de la matriz es invariante, por lo tanto,$m=n$.

Answer 2

Sugerencia: ¿Cuál es la suma de todos los números en la matriz?

Answer 3

Deje $\mathrm A \in \mathbb R^{m \times n}$ tienen su $m$ filas y $n$ columnas suma a $1$. Por lo tanto,

$$\underbrace{1_m^T \mathrm A}_{=1_n^T} 1_n = 1_n^T 1_n = n$$

y

$$1_m^T \underbrace{\mathrm A 1_n}_{=1_m} = 1_m^T 1_m = m$$

Por lo tanto, $m = n$.