¿Por qué las parábolas de los brazos, eventualmente, convertirse en paralelo?

Question

Aquí es lo que este sitio de los estados

Todas las parábolas tienen la misma forma, no importa lo grandes que son. A pesar de que son infinitos, lo que significa que los brazos nunca de cerca, los brazos que finalmente se convertirán en paralelo.

Ahora, tengo un argumento en contra de ella. Deje $f(x) = ax^2 + bx + c$ ser un polinomio cuadrático con $a , b$ $c$ números reales y $a \ne 0$. Por lo tanto, su gráfica nos dará una parábola ($\because$ gráfica de un polinomio cuadrático es una parábola).

Ahora,

$$\dfrac{d (ax^2 + bx + c)}{dx}$$$$ = 2ax + b$$

es decir, la pendiente de una ecuación cuadrática polinomio está dado por $g(x) = 2ax + b$. Ahora, la diferenciación de la ecuación de la pendiente de la ecuación cuadrática

$$\dfrac {d (2ax + b)}{d x}$$ $$ = 2a$$

Por lo tanto, si $a \gt 0$, entonces la pendiente de $g(x)$ será cada vez mayor. Esto significa que la pendiente de $f(x)$ también va en aumento. Del mismo modo, si $a \lt 0$, entonces la pendiente de $f(x)$ será decreciente.

Esto significa que para todos los $x$ la pendiente de $f(x)$ será diferente. Así, esto se contradice con el hecho de que (según yo) de que los brazos de una parábola finalmente será paralelo. A donde voy mal?

Answer 1

Por "tiempo" que significa "en el límite". Como $a$ va hacia el infinito positivo, la pendiente en $a$ va hacia el infinito positivo, lo que significa que el brazo se está convirtiendo en más y más vertical. Como $a$ va hacia el infinito negativo, por lo que hace que la pendiente en $a$ -, pero una pendiente de "infinito" también significa que la línea es vertical, por lo que el brazo izquierdo también se está convirtiendo en más y más cerca de la vertical. Si ambos brazos están acercando más cerca de la vertical, entonces ellos deben estar cada vez más cerca y más cerca de ser paralelos el uno al otro.

Por supuesto, su argumento muestra que ellos nunca realmente ser paralelas. Sólo muy de cerca.

Answer 2

La parábola (foto de arriba), y la hipérbola (foto inferior) ver projectively, todas las líneas $y=k$ son paralelas a la línea en el infinito, $L_{\infty}$. Aquí podemos ver todos los no-degenerada secciones cónicas son elipses en el plano proyectivo.

En cuanto a la imagen de los brazos de la parábola 'aparecer' para convertirse en paralelo en algún lugar en el medio, antes de que se curvan hacia adentro para satisfacer a $L_{\infty}$.

He aquí una bonita charla sobre la Geometría Proyectiva , lo que explica, sobre 36mins en la parábola.

Edit: El appearance de líneas paralelas es un Euclidiana que la imagen nos permite hacer, y de hecho esta noción de cambios paralelos con la perspectiva del espectador, y fue un guiño a la pregunta inicial de ¿qué paralelo en realidad significa WRT los sitios de reclamo acerca de las parábolas:

Although they are infinite, meaning that the arms will never close up, the arms will eventually become parallel.

Es difícil hacer afirmaciones como esta sin el ajuste de la geometría apropiada, ya que no tiene ningún significado en la geometría Euclidiana y hacer el cálculo no nos ayudará a ver la imagen más grande. Para ver lo que está pasando tenemos que ver las cosas en el plano proyectivo. Ver projectively todos los no-degnerate cónica es una elipse que es en una sola pieza. Para entender esto se necesita el concepto de puntos y líneas en el infinito. La elipse, la parábola y la hipérbola tiene $0$, $1$, y $2$ puntos en el infinito, respectivamente.

Para ver los puntos en el infinito en la parábola, nos inclinación de su perspectiva. Observar cómo la parábola cortará cada rayo en $0$ y uno finito punto, excepto para el $y$-eje, que se reúne al $L_{\infty}$. Por lo tanto las parábolas tienen un solo punto en el infinito. (Ver foto de arriba.)

La hipérbola dos puntos en el infinito, donde se reúne con sus asíntotas, y la continuación de la hipérbola para formar una elipse viene de la proyección de la rama más baja a través del mismo centro de la proyección. (Ver foto de abajo.)

Tenga en cuenta también que cuando nos fijamos en el plano hiperbólico nos fijamos en las transformaciones de $\mathbb{R}^2$ con un "punto en el infinito", agregó (extended reales: $\hat{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{\infty\}$), cuyas transformaciones se rigen por la proyectiva especial lineales grupo $\operatorname{PSL}_2(\mathbb{R})$. En geometría hiperbólica tenemos una noción de distancia, pero no así en la geometría proyectiva, donde las transformaciones se rigen por $\operatorname{PSL}_3(\mathbb{R})$, que es más grande que $\operatorname{PSL}_2(\mathbb{R})$, significa que el plano proyectivo viene con menos propiedades geométricas pero más rico transformaciones.

Answer 3

También estoy en desacuerdo con la afirmación "los brazos que finalmente se convertirán en paralelo".

No creo que el análisis de $f''$ como usted ha hecho es realmente necesario. Creo que es suficiente para detener la con $f'(x) = 2ax + b$ y tenga en cuenta que $$2ax_1 + b = 2a x_2 + b \iff x_1 = x_2.$$

Es decir, no puede haber dos puntos distintos en el gráfico de $f(x)$ que tienen la misma pendiente.

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Me pregunto si tal vez ellos estaban pensando en algo como esto cuando escribió que: $$\lim_{x \to +\infty} (2ax + b) = (\operatorname{sgn}a)\infty$$ and $$\lim_{x \to -\infty} (2ax + b) = -(\operatorname{sgn}a)\infty,$$ donde $\operatorname{sgn}a$ $1$ si $a > 0$ $\operatorname{sgn}a$ $-1$ si $a < 0$. Básicamente, el "límite" de cada brazo es una línea vertical. Esa es la única cosa que puedo pensar que sería llegar a, pero eso es una terrible e inútil, cosa que explicar en un precálculo de nivel.

Answer 4

El sitio está mal. No sólo los brazos de una parábola no llegaron a convertirse en paralelo, ellos ni siquiera se enfoque en el paralelo como límite y se extiende hacia el infinito.

La parábola está definida para todos los números reales-no existe la x más allá de que la parábola de "no ir". Una función cuya gráfica no enfoque paralelo como y va al infinito es

y = 1/abs(x)

donde los brazos se arbitrariamente cerca del eje y y nunca llegar a ella (definida en x=0).

Por el contrario los brazos de una parábola seguir difundiendo más y aparte como y tiende al infinito, es decir, la distancia entre ellos es ilimitado.

Es interesante que las laderas de los brazos se hacen arbitrariamente cerca, y una definición de las líneas paralelas es que tienen la misma pendiente. No sé cómo explicar eso. Pero estoy seguro de que el hecho de que la distancia entre los brazos es ilimitado "prevalece" sobre las laderas acercándose más.

Answer 5

Qué quieren decir con "al final de los brazos de la parábola en vertical" es que al tomar el límite de $$\lim_{x\rightarrow\infty}[2ax+b]=\cases{\infty \quad \;\;, \;a>0\\ -\infty \;\;\;,\;a<0}$$ la pendiente es vertical, a pesar de que "eventualmente" y el infinito no son utilizados como sinónimos, por lo que su elección de palabras es lamentable.