Es un ejercicio común en álgebra para demostrar que no existe un campo de $F$ de manera tal que su grupo aditivo $F^+$ y el grupo multiplicativo $F^*$ son isomorfos. Ver, por ejemplo, a esta pregunta.
Uno de los snappiest pruebas a las que me sé es que, si suponemos una contradicción son, entonces cualquier isomorfismo envía soluciones de la ecuación de $2x = 0$ en el grupo aditivo para soluciones de la ecuación de $y^2 = 1$ en el grupo multiplicativo. Dependiendo de si la característica de $F$ es o no es la 2, la ex ha $|F|$ o $1$ solución(s), mientras que el último ha $1$ o $2$ soluciones, respectivamente. No hay ningún campo para que estos números estén de acuerdo, $F^+ \not\cong F^*$ nunca.
Uno podría ahora preguntar si hay un par de campos,$E$$F$, por lo que $E^+ \cong F^*$ como grupos.
Claramente $\def\GF#1{\mathrm{GF}(#1)}\GF2^+ \cong \GF3^*$, $\GF3^+ \cong \GF4^*$, y en general si $p$ es un primer e $p+1$ es una fuente primaria de energía, a continuación,$\GF p^+ \cong \GF{p+1}^*$.
Usted puede ver que esto caracteriza la situación en la característica positiva de caso, desde la misma ecuación truco anterior: si $\def\c{\operatorname{char}}\c E = 2$$\c F \ne 2$, podemos hacer $|E| = 2$ y obtener una solución. Otra cosa que debe tener $\c E \ne 2 = \c F$. Si $\c E = c \ne 0$, entonces los elementos de a $E$ debe obtener asignan a $c$-th raíces de la unidad en la $F$, y no puede haber más de $c$ de las personas.
Esto deja el caso en que $\c E = 0$, por lo que no hay finito campos. De hecho, ninguno de los casos anteriores permitir que cualquier infinitos campos. Esto me lleva a mi pregunta:
¿Existen infinitos campos de $E$ $F$ tal que $E^+ \cong F^*$?
Creo que la respuesta es no, y parece poco probable que un isomorfismo existiría, pero no puedo hacer cara o cruz de la misma, en realidad. He aquí lo que tengo.
Como en el anterior, puedo demostrar que si $E$ $F$ son infinitas, y $\phi: E^+ \to F^*$ es un isomorfismo, entonces podemos suponer $\c E = 0$—así WLOG es una extensión de $\mathbb Q$—$\c F = 2$.
Cada elemento de a $E$ tiene una infinidad de aditivo orden, por lo que cada elemento de a $F^*$ tiene infinitas multiplicativo de la orden, y no hay raíces de la unidad, con la excepción de $1 = \phi(0)$. Sin embargo, si $a \ne 1$$F$, $a$ $k$- ésima raíz de $\phi(\frac1k \phi^{-1}(a))$ todos los $k$, ya que el $E \supseteq \mathbb Q$.
