Hace compleja la dinámica de la oferta de cualquier conocimiento real de la dinámica?

Question

Una de las cosas más fascinantes sobre análisis complejo es que ofrece una visión de análisis real.

Aquí hay dos fotos de Needham del libro Visual de Análisis Complejo (p. 65):

Imagen 1 (verdadero). Considere las siguientes dos funciones.

Ambos tienen el radio de convergencia $R = 1$. Pero si bien es claro cuál es el problema con [a] (su comportamiento en $x =\pm 1$), no está claro cuál de parada de [b] de tener un mayor radio de convergencia.

Imagen 2 (complejo). El misterio se revela cuando nos damos cuenta de que, desde el punto de vista de la complejidad del análisis, tanto [a] y [b] son los trozos de la misma función y el radio de convergencia es sólo la distancia más cercana a la pole.

Hay algo similar (no necesariamente con fotos) con respecto a la compleja dinámica? Hace compleja la dinámica de la oferta de cualquier conocimiento real de la dinámica?

Edit: por "verdadera dinámica", me refiero a la dinámica real de los mapas.

Answer 1

Dos razones (entre otras) de que la comprensión de las complejas variables que se agrega a nuestra comprensión de las variables reales son

• El eje real se ajusta muy bien a lo largo del eje real del plano complejo y
• Los números complejos son algebraicamente completa - es decir, cada polinomio de grado $n$ tiene exactamente $n$ raíces.

Ejemplo 1

Supongamos que aplicamos el método de Newton para el polinomio $f(x)=x^2+1$. Nos encontramos con el método de Newton el método de iteración de la función $N(x) = x/2 - 1/(2x)$ y si repetimos desde un punto de partida aleatorio, veremos comportamiento caótico. He aquí un bonito estándar telaraña para la trama de esta función:

Desde el punto de vista de la dinámica compleja, el eje real es entre dos atractivos puntos fijos en$\pm i$, con lo que el caos tiene perfecto sentido. De hecho, $N(x)$ es conjugado a la plaza de la función a través de la transformación de Möbius $\varphi(z) = (z-i)/(z+i)$ desde $$\varphi(z)^2 = \frac{(z-i)^2}{(z+i)^2} = N(\varphi(z).$$ Así, la dinámica de $N$ sobre la línea real son isomorfos a la dinámica de la $z^2$ sobre el círculo unidad, que son bien conocidos por ser caótico.

Ejemplo 2

En la parte izquierda de la siguiente animación podemos ver la gráfica de $f_c(x)=x^2+c$ $0 \leq c \leq 1/2$ junto con la línea de $y=x$. Esto claramente muestra la colisión de dos puntos fijos - una atractiva y otro repulsivo. Que brevemente se funden en uno neutro punto fijo y luego desaparecen todos juntos. A la derecha, nos movemos en el plano complejo y parcela de esos mismos puntos fijos en los conjuntos de Julia para los polinomios. Desde esta perspectiva, en realidad nunca desapareció del todo.

Supongo que esto es más bien un caso especial de que el hecho de que todos los complejos polinomio tiene periódicas de los puntos de cada orden, mientras que el real polinomios no.

Ejemplo 3

La imagen siguiente muestra la relación entre el diagrama de bifurcación para la familia real $f_c(x)=x^2+c$ y el conjunto de Mandelbrot. Específicamente, se puede ver cómo el periódico de windows en el diagrama de bifurcación se alinean con regiones estables en el conjunto de Mandelbrot.

Ejemplo 4

Esta respuesta se describe la naturaleza de la real recorre de $f(x)=x^2-x-1$. No es demasiado duro para mostrar que no es un atractivo en tres ciclos. Por supuesto, el famoso Período de Tres Teorema implica que hay comportamiento caótico, sin embargo, es difícil de ver. La razón es que el caótico conjunto es un conjunto de Cantor, cuando se limita a la línea real. Es mucho más claro, a ver, cuando se mira el conjunto de Julia:

Las grandes regiones blancas contienen los intervalos complementarios para el conjunto de Cantor, donde el caos se encuentra.

Ejemplo 5

Finalmente, uno de los más importantes resultados teóricos en la compleja dinámica es la siguiente:

Para una racional mapa de grado de al menos 2 de cada atractivo órbita contiene al menos un punto crítico en su cuenca de atracción.

El resultado correspondiente para la verdadera dinámica es un poco más complicado - debemos agregar la suposición de que la función en consideración negativa Schwarzian derivados.