Una secuencia de coeficientes de $x+(x+(x+(x+(x+(x+\dots)^6)^5)^4)^3)^2$

Question

Vamos a considerar una función (o una manera de obtener un poder formal de la serie):

$$f(x)=x+(x+(x+(x+(x+(x+\dots)^6)^5)^4)^3)^2$$

Where $\dots$ is replaced by an infinite sequence of nested brackets raised to $n$th power.

The function is defined as the limit of:

$$f_1(x)=x$$

$$f_2(x)=x+x^2$$

$$f_3(x)=x+(x+x^3)^2$$

etc.

For $|x|$ 'small enough' we have a finite limit $f(x)$, but I'm not really interested in it right now.

What I'm interested in - if we consider the function to be represented by a (formal) power series, then we can expand the terms $f_n$ and study the sequence of coefficients.

It appears to converge as well (i.e. the coefficients for first $N$ powers of $x$ stop changing after a while).

For example, we have the correct first $50$ coefficients for $f_{10}$:

$$(a_n)=$$

0,1,1,0,2,0,1,6,0,6,6,24,15,26,48,56,240,60,303,504,780,1002,1776,3246,3601,7826,7500,18980,26874,38130,56196,99360,153636,210084,390348,486420,900428,1310118,2064612,3073008,4825138,7558008,11428162,18596886,26006031,43625940,65162736,100027728,152897710,242895050,365185374

I say they are correct, because they are the same up until $f_{15}$ al menos (marcada con Mathematica).

¿Hay alguna otra manera de definir este entero de la secuencia?

¿Qué podemos decir acerca de la tasa de crecimiento de esta secuencia, la existencia de pequeñas $a_n$ grandes $n$, etc.? (ver variables numéricas a continuación)

No es monótono después de $a_{18}=60$? (En realidad, $a_{27}=7500$ es menor que en el periodo anterior) (ver variables numéricas a continuación)

Se $a_0,a_3,a_5,a_8$ el único cero de los miembros de la secuencia? (parece ser que sí, a ver variables numéricas a continuación)

La secuencia no está en OEIS (lo cual no es sorprendente para mí).

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Editar

Siguiente Winther del plomo I calculan los coeficientes de los términos sucesivos de $f_{70}$ hasta $n=35 \cdot 69=2415$:

$$c_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}$$

And also the differences between the successive ratios:

$$d_n=c_n-c_{n+1}$$

We have:

$$c_{2413}=1.428347168$$

$$c_{2414}=1.428338038$$

I conjecture that $c_{\infty}=\sqrt{2}$, pero no estoy seguro.

• Después de mucho esfuerzo, me calculada

$$c_{4949}=1.4132183695$$

Que parece refutar mi conjetura. Los valores cercanos parecen estar de acuerdo con esto.

$$c_{4948}=1.4132224343 \\ c_{4947}=1.4132265001$$

But the most striking thing - just how much the sequence stabilizes after the first $200-300$ términos.

¿Cómo podemos explicar este comportamiento? ¿Por qué la secuencia de inicio con más o menos "al azar", sino que se convierte en monótono para un gran $n$?

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ACTUALIZACIÓN

La secuencia es ahora en OEIS, número A276436

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Answer 1

Sólo la adición de algunos resultados de la computación numérica de la primera $n = 4000$ $a_n$'s en caso de que alguien está interesado en ver cómo la secuencia crece. El código de Mathematica utiliza (probablemente no muy eficiente) se da al final. Calculo $f_n(x)$ mediante la resolución de la reccurence: $g_{i+1} = (x + g_i)^{n-i}$$g_1 = x^n$. De esta manera tenemos $f_n(x) = g_n$.

Aquí puedes ver $\frac{\log(a_n)}{n}$,

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$

y aquí se puede ver la relación de $\frac{a_{n+1}}{a_n}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$

y aquí es un gráfico de $f(x)$ (bien $f_{15}(x)$ sin embargo el gráfico siguiente se ve la misma para mayor $n$). La línea vertical indica $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$, lo que parece ser una asíntota vertical para $f(x)$.

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$

(* Define the function f_n(x) *)
f[n_, x_] := Module[{res, i},
   res = x^n; 
   Do[ res = (x + res)^(n - i); , {i, 1, n - 1}]; 
   res 
 ];

(* How many an's to compute? *)
numterms = 1000;

(* am stabilize for m > n(n-1)/2 so we only need to compute fn for n = nmax *)
nmax = Ceiling[Sqrt[2 numterms]];

(* Extract the coefficients *)
powerseries = Normal[Series[f[nmax, x], {x, 0, numterms}]];
an = Coefficient[powerseries, x, #] & /@ Range[0, numterms];
bn = Table[{i, Log[an[[i]]]/i}, {i, 1, Length[an]}];
cn = Table[{i, an[[i + 1]]/an[[i]]}, {i, 1, Length[an] - 1}];

(* Plot it up *)
ListLogLinearPlot[bn]
ListLogLinearPlot[cn]

Answer 2

Una interpretación de lo $f$ cuenta: En términos de diagramas de considerar un proceso de ramificación donde en cada nivel de $n-1$ usted ponga una hoja (el factor de $x$) o la rama en $n$ distintas ramas en el nivel $n$. La generación de funciones en cada nivel, a continuación, comprueba la relación de recursividad (puse la recursividad de manera diferente que el OP):

$$L_{n-1}(x) = x + (L_{n}(x))^n $$

Cada una de las $L_n(x)=x + ...$

La función de $L_1(x)=f(x)$ luego cuenta el número de árboles. El uso de parantheses para indicar el nivel de ramificación tenemos:

$L_1(x)=f(x)=(x) \ + \ ((x)(x)) \ + \ 2 ((x) \ \ ((x)\;(x)\;(x)) )+ ...$

He aquí un dibujo de pedidos hasta el $x^7$. Cada círculo lleno corresponde a una hoja (un factor de $x$). Respecto de conteo de factores, por ejemplo, 6 viene de 2 alternativas para poner el 3-ramificación y, a continuación, 3 opciones para poner el 4 de ramificación.

Answer 3

Dos aspectos que podrían ser útiles.

La recurrencia de la relación:

Se utiliza la siguiente relación de recurrencia para representar a $f(x)$:

\begin{align*} f_1(x,y)&=y\\ f_2(x,y)&=x+y^2\\ f_3(x,y)&=x+(x+y^3)^2\\ f_4(x,y)&=x+(x+(x+y^4)^3)^2\\ f_5(x,y)&=x+(x+(x+(x+y^5)^4)^3)^2\\ &\cdots \end{align*}

Obtenemos \begin{align*} f_1(x,y)&=y\\ f_n(x,y)&=f_{n-1}(x,x+y^n)\qquad\qquad n> 1 \end{align*} y la conclusión de \begin{align*} f(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x,y) \end{align*}

Nota: $y$ no es parte de la alimentación de la serie $f(x)$, ya que el término con la potencia más baja de $y$ $f_n$ $n$ $y$ se desvanece cuando se lleva al límite.

Los coeficientes de $f(x)$:

Si nos fijamos en el cambio de $f_4$ $f_5$

$$f_4(x,y)=x+(x+(x+y^4)^3)^2 \qquad\rightarrow\qquad f_5(x,y)=x+(x+(x+(x+y^5)^4)^3)^2$$ we see the coefficients which might change from $f_4(x,x)$ to $f_5(x,x)$ inicio con los coeficientes de la más pequeña de energía introducida por la sustitución $$y^4\qquad\rightarrow\qquad (x+y^5)^4$$ que es $x^{4+3+2+1}$.

En la siguiente tabla podemos ver marcado con color azul los coeficientes que son estables con el aumento de la $n$. Podemos ver los bloques de $1,1+2$ $1+2+3+4+5$ coeficientes en $f_2(x,x)$$f_6(x,x)$. \begin{array}{c|cccccccccccccccccccccc} f_n(x,x)&x^1&x^2&x^3&x^4&x^5&x^6&x^7&x^8&x^9&x^{10}&x^{11}&x^{12}&x^{13}&x^{14}&x^{15}\\ \hline f_1(x,x)&1\\ f_2(x,x)&\color{blue}{1}&1\\ f_3(x,x)&\color{blue}{1}&\color{blue}{1}&\color{blue}{0}&2&&1\\ f_4(x,x)&\color{blue}{1}&\color{blue}{1}&\color{blue}{0}&\color{blue}{2}&\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&6&&6&6&&15&2&&20&\cdots\\ f_5(x,x)&\color{blue}{1}&\color{blue}{1}&\color{blue}{0}&\color{blue}{2}&\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{6}&\color{blue}{0}&\color{blue}{6}&\color{blue}{6}&24&15&26&48&56&\cdots\\ f_6(x,x)&\color{blue}{1}&\color{blue}{1}&\color{blue}{0}&\color{blue}{2}&\color{blue}{0}&\color{blue}{1}&\color{blue}{6}&\color{blue}{0}&\color{blue}{6}&\color{blue}{6}&\color{blue}{24}&\color{blue}{15}&\color{blue}{26}&\color{blue}{48}&\color{blue}{56}&\cdots\\ \end{array}

Tomamos nota de los coeficientes de $f_n(x,x)$ $f_{n-1}(x,x)$ $x^{(n-1)+(n-2)+\cdots +1}=x^\frac{n(n-1)}{2}$ son los mismos y a la conclusión de:

Los coeficientes de los términos a a $x^\frac{n(n-1)}{2}$ $f(x)$ son dados por los correspondientes coeficientes de $f_n(x,x)$$n> 1$.

\begin{align*} [x^j]f(x)=[x^j]f_n(x,x)\qquad\qquad 0\leq j\leq \frac{n(n-1)}{2} \end{align*}

con $[x^j]$ denota el coeficiente de $x^j$ en una serie.

Answer 4

Una observación que podría ser útil:

Usando la notación $$F_k(x) = (x+(x+(x+\ldots)^{k+2})^{k+1})^k,$$ de modo que, en particular,$F_1(x) = f(x)$, tenemos $$\frac{d}{dx}F_k(x) = k(x+F_{k+1}(x))^{k-1}\left(1+\frac{d}{dx}F_{k+1}(x)\right).$$ Ahora para encontrar $a_n$ necesitamos tomar $F_1(x)$, diferencian $n$ veces y, a continuación, evaluar en $x=0$.