¿Por qué es importante encontrar dos soluciones a una segunda orden linear ecuación de diferencial?

Question

Dada la ecuación $$y'' + y=0$ $ es una solución $y=\sin(t)$

¿Por qué no podemos dejar allí ya sabemos una forma de resolver el sistema? ¿Por qué deberíamos considerar todas las formas para resolver el sistema?

Realmente me gustaría ver un ejemplo del mundo real al tener una única solución es inadecuada. Sé que esto es pedir mucho, pero a menudo encontrar matemáticas sólo se vuelve más fácil de entender una vez que tengo que usar para resolver algo y se convierte en relacionar-capaz de cosas reales.

Answer 1

Considere la posibilidad de un punto de masa $m= 1 \ \mathrm{kg}$ conectado a un extremo de un resorte con constante de resorte $k = 1 \ \mathrm{N/m}$. Supongamos que el resorte suspendido verticalmente de un inmueble de apoyo. Las oscilaciones de la masa alrededor de su posición de equilibrio, a continuación, puede ser descrito por la ecuación $$y''+y = 0$$ donde $'$ indica tiempo de derivados, $y$ el desplazamiento y donde se mide la distancia en $\mathrm{m}$ y el tiempo en $\mathrm{s}$.

Como usted ha dicho, $y = \sin t$ es una solución para esta ecuación. Para esta solución, se $y(0) = 0$$y'(0) = 1$. Esto significa que la masa se inicia desde el reposo con una unidad de velocidad. Además, el máximo desplazamiento de la masa es $1$.

Pero, ¿y si la masa no se inicia desde el reposo y lo que si no tiene unidad de velocidad? Lo que si se suelta la masa de $1.5 \ \mathrm{m}$ de su equilibrio en $t=0$ y con cero de la velocidad inicial? Entonces la solución sería $y = 1.5 \cos t$. Este es físicamente diferente de $y = \sin t$.

Con el fin de ser capaz de dar cuenta de diferentes condiciones iniciales, usted necesita la solución general, que se puede escribir de muchas maneras, una de las cuales es $y = A\sin (t) + B\sin (t)$. También podemos escribir esto como $y = C\sin(t+ \phi)$$C\sin(t+\phi) = C\cos(\phi)\sin(t) + C\sin(\phi)\cos(t)$. Sin embargo, esto es muy diferente a la $y = \sin t$.