Deje $S$ ser el anillo de Cauchy secuencias de $\mathbb{Q}$, es decir,$S=\{(a_n)\in\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}|(a_n)\, \text{is a Cauchy rational sequence in the ordinary distance} \}$, $S$ es un sub-anillo de $\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}$. Denotar $R$ a el anillo de $\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}$.
Lo siento. {Entonces $S$ es un anillo local con ideal maximal $\mathfrak{m}$ constisting de las secuencias convergentes a cero. $S$ es una reducción del anillo, por lo que la dimensión de krull $S$ $>0$.} Lamentablemente,no está mal..:(
No es Noetherian, ya que el ideal de la $\bigoplus \mathbb{Q}$ no es finitely generado. ...... De todos modos, este anillo es reducido, derecho? Y $(1/n)_n\neq(1/n^2)_nx$ cualquier $x\in S$, no es totalmente plana, por lo que dim>0.
La obvia máxima ideales son : el ideal maximal $\mathfrak{m}_0$ consta de las secuencias convergentes a cero, ideal $\mathfrak{m}_i$ compuesto de los elementos cuyas $i$-ésima componente es cero. Es decir $S/\mathfrak{m}_0\cong\mathbb{R}$$S/\mathfrak{m}_i\cong\mathbb{Q}$.
Estoy tratando de encontrar a un no-máxima primer ideal de forma explícita. ¿Cuál es la dimensión de krull de $S$ ? Más propiedades de $S$ ?
Es allí ideal maximal $\mathfrak{p}$ tal que $S/\mathfrak{p}\cong\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ o es isomorfo a cualquier otro intermedio campo?
Más de observación, si $\mathfrak{m}$ es un ideal maximal de a $R$ tal que $R/\mathfrak{m}$ es un número algebraico de campo, a continuación, $\mathfrak{m}\cap S$ es un ideal maximal. Sin embargo, no todo ideal maximal de a $S$ proviene de $\operatorname{Spec}R$, por ejemplo, $\mathfrak{m}_0$ no está en la imagen de $\operatorname{Spec}R$.
Hay muchas cosas aquí no me queda claro, denotan $\phi$ para el mapa de$\operatorname{Spec}R$$\operatorname{Spec}S$, es la imagen de $\phi$$\operatorname{MaxSpec}R$? ¿Qué significan los puntos en $\operatorname{Spec}R$ ? ¿Cuál es el conjunto de los residuos de campo en los puntos en $\operatorname{Spec}R$ ? etc..
OK, he fallado demasiado, los máximos ideales de la $R$ vienen de dos vías, por un lado están los ideales de la $\mathfrak{m}_i=\{(a_j)\in\prod \mathbb{Q}|a_i=0\}$, el otro máxima ideal contiene el ideal $\oplus\mathbb{Q}$. Deje $\mathfrak{m}$ ser un ideal maximal que contiene a $\oplus\mathbb{Q}$, entonces la cardinalidad de a $R/\mathfrak{m}$ $c$ la cardinalidad del continuo. Es decir, el residuo de campo de $R$ es $\mathbb{Q}$ o un no algebraicas de extensión de campo de $\mathbb{Q}$.
La proposición Deje $\mathfrak{m}$ ser un ideal maximal de a $S$ contiene $\oplus\mathbb{Q}$, entonces la cardinalidad de a$S/\mathfrak{m}$$c$.
Prueba. Definir el mapa de $f$ desde el set $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ $S/\mathfrak{m}$mediante el envío de $(a_i)$$(\sum_{k=1}^ia_k/3^k)+\mathfrak{m}$. A continuación, $f$ es inyectiva. Hemos terminado.
Así que no es el primer ideal $\mathfrak{p}$ $S$ tal que $S/\mathfrak{p}\cong \mathbb{Q}[\sqrt{2}]$.
A la derecha. Como este post señala que es fácil ver que $\mathfrak{m}_0$ es el único ideal maximal que contiene a $\oplus\mathbb{Q}$, y el conjunto de $\operatorname{MaxSpec}S$ se compone de $\mathfrak{m}_0$ $\mathfrak{m}_i$s.
Por lo tanto la proposición es trivial, pero el método de la prueba pueden estar disponibles para $R$.
Sólo por diversión.
Gracias.
