Parece que cada construcción de un modelo en que el axioma de elección no implica a algún tipo de simetría. ¿Hay un ejemplo de una construcción de un modelo cuando AC no pero ningún argumento que implica simetría aparece? ¿Hay algún resultado que conecta la negación de la opción (cualquier tipo de elección) con algún tipo de simetría?
Respuestas
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DanV
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Tenemos una vaga idea. En primer lugar, permítanme cubrir los antecedentes históricos de las simetrías.
Primero uno debe observar que realmente no sabemos cómo generar modelos de la teoría de conjuntos. Seguro de que, bajo los supuestos de que esos modelos existen que puede generar más, pero no podemos realmente llegar a ellos de la nada. Esto significa que la mayoría de las formas de generar un modelo de ZF nos obligaría a tener ya un modelo y, a continuación, modificar el uso de una u otra manera. Si queremos tener "bonito" de los modelos (es decir, contables transitiva modelos) entonces tenemos dos principales formas de obtención de las ya existentes agradable modelos, interiores modelos, y la adición de nuevos conjuntos (generalmente genérico de conjuntos). Utilizando simétrica extensiones es hacer ambas cosas, primero hay que añadir establece a continuación, pasamos a su interior, una modelo de la extensión.
La idea de utilizar simetrías vuelve a Fraenkel, y entonces fue incorporada en forzar por Cohen. Esta idea comenzó con ZF+Átomos, y, por supuesto, no podemos separar entre los átomos, sin el axioma de elección (todos ellos satisfacen las mismas fórmulas), por lo que tomando sólo las cosas que son definibles a partir de un pequeño conjunto de átomos y son impermeables a la mayoría de las permutaciones de los átomos (es decir, un gran conjunto de permutaciones de los átomos no va a cambiar nuestro objeto) somos la eliminación de cualquier cosa que se pueden separar entre los átomos. En particular, nos aseguramos de que no puede ser bien ordenado.
Enfoque Similar fue tomada por Cohen, y es que la idea directriz detrás simétrica extensiones de forzamiento. Añadimos genérico establece que desde el modelo de terreno tienen las mismas propiedades y no puede ser discernida. Mientras que los átomos de satisfacer prácticamente ninguna fórmula; genéricos conjuntos de satisfacer prácticamente cada fórmula. Pero inseparabilidad todavía está allí, así que podemos hacer una táctica similar.
Por último relativo definability es también una opción, pero esto fue demostrado para ser esencialmente equivalente a simétrica extensiones (bajo condiciones razonables) por Griegoreff. Yo estoy diciendo, básicamente porque podemos generar relativa definability modelos que no son simétricos extensiones, pero la idea es lo suficientemente cerca que podemos pensar que es la misma cosa.
Hace aproximadamente dos años, varios prominentes conjunto de teóricos se reunieron en Bristol y en un par de días inventado un modelo que no es simétrica, la extensión y el axioma de elección falla ahí. Tristemente, sin embargo, nadie escribió los detalles. Tengo la esperanza de reconstruir su trabajo en algún momento en el próximo par de años. Pero hasta entonces, yo no puedo dar más detalles porque realmente no tienen.
También hay una prueba de que si hay una cantidad no numerable de medibles cardenales, a continuación, Chang modelo no satisface el axioma de elección. Chang modelo es el modelo que se construye cuando se toma una $L$-como el cierre con un infinitary lógica en lugar de la lógica de primer orden.
Aunque no sé mucho (todavía) acerca de este proceso, me han dicho que si se utiliza un indefinible lógica, entonces su cierre es poco probable que satisfaga el axioma de elección. Pero yo no tengo mucho que dar acerca de que sin embargo, tampoco. Debo mencionar que este es uno de los temas propuestos para mi Tel. D. tesis doctoral, y todavía tengo que anular por completo.
Por supuesto, en algún momento, uno puede asumir que viven dentro de un modelo sin el axioma de elección. Es posible que este modelo no es simétrica, la extensión de cualquier modelo de terreno, pero esto es todavía un final abierto como lo que yo sé. Uno podría comprobar si es o no es simétrica, la extensión de un conjunto de forzamiento (simetrías satisfacer Blass' SVC), pero no todos los de la clase obligando a hacer simetrías, así que realmente no podemos asegurar que en el caso general (si deseamos incluir la clase obligando a base de simetrías, que es).
Todos en todos, tengo un tiempo difícil señalar referencias exactas y que sabría dar mejores respuestas, pero tengo la sensación de que no hay demasiado que podemos concluir con certeza.
Carl
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Tengo un ejemplo que no es simétrica, o al menos, obviamente, no es así. Es un poco avanzado, por lo que recomiendo la búsqueda en la literatura.
En la eficacia de topos, que se basa en recursiva realizabilidad, hay surjective funciones que no tienen secciones. En este topos, todos los morfismos $\mathbb N \to \mathbb N$ son funciones recursivas. Por lo tanto, hay un conjunto de algoritmos para el total de las funciones de $\mathbb T$ y un surjection $s:\mathbb T \to \mathbb N^{\mathbb N}$. Este surjection no puede tener una sección por la siguiente razón. Podemos recursivamente decidir si dos algoritmos son iguales. Una inversa de a $s$ nos permitiría decidir la igualdad de funciones, lo cual es imposible.
