¿Son todos $\Pi A_\alpha \stackrel{\pi_i}\longrightarrow A_\alpha$ proyección mapas epic, dado que el $\Pi A_\alpha$ ser el producto de $A_\alpha$s? Por supuesto, suponiendo que el producto existe.
Respuestas
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En una categoría arbitraria, ya que basta con tener un cero objeto de $0$.
Considere la posibilidad de $\pi_i\colon \prod A_j \rightarrow A_i$ y escoger un índice $n$. Luego tenemos la identidad de morfismos $\mathrm{id}_n\colon A_n\rightarrow A_n$ y para cualquier otro objeto $A_j$ tenemos el cero de morfismos $0_{nj}$. Por la característica universal del producto, podemos obtener una morfismos $\rho_n\colon A_n\rightarrow \prod A_j$ $\pi_n\circ \rho_n = \mathrm{id}_n$ $\pi_j \circ \rho_n = 0_{nj}$ para todos los otros $j$.
Ahora supongamos que existe un objeto $X$$f,g\colon A_n\rightarrow X$$f\circ\pi_n = g\circ\pi_n$. Entonces
$$f\circ\pi_n\circ\rho_n = f\circ\mathrm{id}_n = f$$
y
$$g\circ\pi_n\circ\rho_n = g\circ\mathrm{id}_n = g$$
Desde $f\circ\pi_n = g\circ\pi_n$, obtenemos $f=g$.
La página de la Wikipedia sobre el producto indica que no es cierto para arbitrario categorías (sin el cero, por lo tanto), pero yo no soy rápido para encontrar un ejemplo.
Hurkyl
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57397
Hay contraejemplos en conjunto: para cualquier conjunto no vacío $X$, el % de proyección $\emptyset \times X \to X$no es cocientes de una familia. Asumiendo el axioma de elección, en conjunto, todos los ejemplos implican el conjunto vacío.
En un universo de conjuntos donde el axioma de la opción falla, hay productos $\prod_\alpha X_\alpha = \emptyset$ donde ninguno de lo %#% de #% son sistemas de vacío; Estos también daría contraejemplos.
Jeff
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804
¿Por la dualidad, la pregunta es equivlent a: son inclusiones de coproductos monic? La categoría de anillos comutativos proporciona muchos contraejemplos, aquí $\sqcup = \otimes$ y $R \otimes 0 = 0$, por lo que $R \to R \otimes 0$ no es inyectiva (a menos que $R=0$). Un poco más interesante, tenemos $\mathbb{Z}/2 \otimes \mathbb{Z}/3=0$, para que aquí tanto las inclusiones coproductos no monic.
Para algebro-geométrico con vocación de lector: hay muchos esquemas no vacío $X,Y$, que $X \times Y = \emptyset$, por lo que las proyecciones no son épicas... falla épica!
jmans
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3018
A juzgar por la etiqueta supongo que se refiere a la categoría de producto. En ese caso aquí es un pequeño contador de ejemplo que muestra que la categoría de las proyecciones para una categoría de producto, cuando existe, no tiene que ser epimorphic. Considere la posibilidad de una categoría de objetos de $x,y,z$ y el siguiente morfismos (aparte de las identidades). No es precisamente una morhpism $z\to x$ y un morhpism $h:z\to y$. Es inmediato comprobar que en esa categoría $z$ es el producto de $x$$y$. Las proyecciones que aquí se epimorphic pero que se puede cambiar fácilmente. Añadir ahora un cuarto objeto $t$ junto con dos morfismos $f_{1,2}:y\to t$ y uno de morfismos $g:z\to t$ con la composición de estos dado por $f_i\circ h=g$. Es fácil ver que $z$ es todavía el producto de $x$ $y$ (debido a que nada nuevo ha $z$ como codominio) pero, evidentemente, la proyección de $h:z \to y$ no es un epimorphism. Por supuesto, usted puede ajustar las cosas un poco más para evitar que la otra proyección de epimorhpic.
