¿Donde se encuentra objetivo en 2009?

Question

Robert Langlands es famoso en la teoría de números para hacer famoso y profundo de las conjeturas acerca de una manera muy abstracta de lo que se denomina automorphic formas, en algún lugar en los años 60.

Hay un artículo muy interesante de Langlands llamado Donde se encuentra functoriality hoy que describe el desarrollo de la asignatura de Langlands el punto de vista de la década de 1990.

Pero si alguien iba a escribir un resumen de la situación actual de Langlands functoriality, ¿qué le diría?

Answer 1

El trabajo de las Ong debe permitir el tratamiento de todos los endoscópica de los casos de functoriality; este es un tipo de estado técnico, pero incluye la transferencia desde la clásica grupos de GL(n) y de cambio de base para unitario grupos. Previamente, cíclico cambio de base de GL(n) era conocido (por Arthur y Clozel), así como algunos interesantes casos aislados como la simétrica de la plaza, la tercera y la cuarta potencia de GL2 (debido a Gelbart-Jacquet, Kim-Shahidi, y Kim, respectivamente) y el tensor de productos de GL2 x GL2 (Ramakrishnan) y GL2 x GL3 (Kim-Shahidi). Estos resultados son herramientas fundamentales en la moderna teoría de números.

El general de Langlands conjeturas están todavía abiertas. He escuchado un destacado experto en la traza de la fórmula de la observación de que "el simétrico de n de n de los poderes de GL2 debe ser tan duro como la conjetura general", que se pueden interpretar sin embargo, usted puede. Langlands tiene una idea que él se refiere como "más Allá de la endoscopia", sin embargo, parece muy difícil empezar y los únicos casos donde se ha trabajado son endoscópica y ya eran conocidas.

Answer 2

Estoy un poco sorprendido de que nadie ha mencionado James Cogdell en sus respuestas. En cualquier caso, Cogdell es un experto en functoriality, y ha escrito numerosos artículos y ha dado muchas charlas sobre el tema, y en "donde está hoy en día".

He aquí una serie de conferencias que dio en el último año :

http://www.math.osu.edu/~cogdell/cimpa-www.pdf

Aquí está un artículo suyo (con Piatetski-Shapiro, Shahidi) en functoriality para quasisplit clásica grupos :

http://www.math.osu.edu/~cogdell/lift3-www.pdf

Y aquí están algunas de las notas de una charla coloquio sobre la L-funciones y functoriality :

http://www.math.osu.edu/~cogdell/lff-www.ps

También hay una buena exposición sobre el functoriality (escrito por Cogdell) en el libro "Una Introducción al programa de Langlands", que es un libro publicado en 2003.

Answer 3

Tal vez la mejor respuesta a la pregunta "Donde hoy se levanta objetivo?" es entregado por Langlands en su escritura informal de dos conferencias recientes (marzo de 2011) impartido en el IAS, disponible aquí:

http://publications.IAS.edu/sites/default/files/functoriality.pdf

Answer 4

Aquí están algunas observaciones que podrían ser relevantes, aunque entiendo casi nada del mundial programa de Langlands.

Lafforgue, actualmente, está trabajando en los problemas relacionados con la functoriality. Hay un número de recientes memorias y notas en su página web, véase, por ejemplo, "Quelques remarques sur le principe de fonctorialité". Si usted no leer en francés, tal vez las conferencias de Lafforgue en Cambridge hace un par de meses, sería útil. Están disponibles en varios formatos de vídeo en el Newton de la página web del Instituto. Para encontrarlos, consulte esta lista, y desplácese hacia abajo hasta Mayo hay un total de 5 charlas Lafforgue, la primera el 5 de Mayo.

Mi impresión de Lafforgue del trabajo es que él tiene el objetivo de una prueba de functoriality de una manera bastante general de la configuración, y (mucho!) se espera que el método de trabajo también en el campo de número de casos y no sólo para la función de campos (aunque puede que yo tenga entendido mal esto). El método tiene al menos vaga similitud con Tate tesis, creo.

Para obtener más información general sobre functoriality y cosas relacionadas, quizá, Knapp de la encuesta sobre el programa de Langlands, la Arcilla de la Escuela de Verano Procedimientos de 2003 (aquí es la búsqueda de Libros de Google de la página), y esta breve nota de Rapoport en Lafforgue del trabajo anterior.

Edit: Gracias a "desconocido" y David por señalar el trabajo de las Ong! Yo debería haber añadido que Laumon también dio una charla en Mayo, en el Newton del Instituto, de las Ong de la prueba, está disponible aquí (tanto de vídeo y diapositivas). Véase también la discusión en el SBS. En el functoriality principio en general, también existe este 15-página expositiva presentación de Arthur.

Answer 5

NGO Bao Chau ha demostrado recientemente el llamado "lema Fundamental" (que es muy probable que obtener la medalla Fields por su trabajo!) y esto tendrá muchas aplicaciones espectaculares para el programa de Langlands, aunque la conjetura de Langlands de objetivo completo todavía está lejos de ser probado (pero no soy un experto). James Arthur dio una charla en la UBC sobre aplicaciones de la FL en el programa de Langlands pero no he podido encontrar un writeup de la charla.