¿Cómo encontrar los grupos que tienen exactamente 3 subgrupos?

Question

¿Cómo encontrar los grupos que tienen exactamente 3 subgrupos?

Ningún grupo debe tener identidad y sí mismo como subgrupos, así que sólo tenemos que encontrar todos los grupos que sólo tienen un subgrupo apropiado. Creo que un % primer $p$el grupo $\mathbb Z/p^2\mathbb Z$ sólo un subgrupo apropiado (por ejemplo, $\mathbb Z/4\mathbb Z$, $\mathbb Z/9\mathbb Z$). ¿Hay otras posibilidades?

Answer 1

Tenga en cuenta que si dos números primos divide al orden del grupo, entonces se tendrá subgrupos de cada uno de estos órdenes, por lo que sólo un prime puede dividir el orden del grupo. También, una $p$-el grupo tiene subgrupos de cualquier orden de la división de la orden del grupo, por lo que el orden debe ser $p^2$. Finalmente, un grupo cíclico de la fib tiene exactamente un subgrupo de cualquier orden de la división de la orden del grupo, por lo tanto, nuestro grupo debe ser cíclica. En conclusión, $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$ es la única posibilidad, y estos satisfacen la propiedad de todos los números primos $p$.

(Para el infinito de los grupos, es fácil comprobar que esta propiedad puede nunca espera.)